Nucleo (matematica)

In matematica, il nucleo di un'applicazione tra gruppi o spazi vettoriali è l'insieme degli elementi del dominio aventi immagine nulla, cioè l'insieme degli elementi che vengono mandati in zero dall'applicazione.

Si tratta di un sottoinsieme del dominio della funzione, e viene spesso indicato come $\ker (f)$, dall'inglese Kernel. Il nucleo eredita le stesse proprietà algebriche dello spazio in cui vive ed è strettamente collegato all'immagine della funzione, siccome generalmente nucleo e immagine si comportano in maniera complementare.

Definizione

Omomorfismi

Il nucleo di un omomorfismo di gruppi $f:X\to Y \,\!$ è il sottoinsieme di X costituito dai punti che vengono portati dalla funzione nell'elemento neutro di Y:

$\textrm{Ker}(f) \ := \left \{x \in X: f(x) = 0_{Y}\right \}.$

In altre parole, il nucleo è l'insieme dei punti che vengono annullati dalla funzione. Il nucleo è sempre un sottogruppo di X; in particolare contiene sempre l'elemento neutro di X.

Nel caso in cui X sia uno spazio vettoriale (che è un gruppo rispetto all'addizione) e f sia una applicazione lineare (quindi un omomorfismo tra i rispettivi gruppi additivi) il nucleo Ker(f) è un sottospazio vettoriale di X (oltre ad esserne un sottogruppo).

Matrici

Per approfondire, vedi la voce Trasformazione lineare.

Sia $A$ una matrice di tipo $m \times n$ con elementi in un campo $K$. Il nucleo di $A$ è l'insieme dei vettori $v$ in $K^n$ tali che:

$Av=0.\,\!$

Questa definizione è coerente con la precedente nel caso l'applicazione sia lineare:

$L_A:K^n\to K^m\,\!$

$L_A:v\mapsto Av$

ed il nucleo di $A$ così definito è il nucleo di $L_A$. In modo equivalente:

$\operatorname{Ker} A:=\{v \in K^n: Av=0\}$

Il nucleo di $A$ è un sottospazio vettoriale di $K^n$, la cui dimensione è chiamata la nullità di A.

Proprietà

Gruppi

Il nucleo di un omomorfismo di gruppi

$f:G\to H\,\!$

è un sottogruppo normale. Il gruppo quoziente

$G/_{\operatorname{Ker} f}$

è quindi ben definito. Per il primo teorema di isomorfismo, questo gruppo è naturalmente isomorfo all'immagine di $f$.

D'altra parte, ogni sottogruppo normale $K$ di un gruppo $G$ è nucleo di una applicazione lineare. L'applicazione è la proiezione sul sottogruppo quoziente:

$\pi:G \to G/_K. \,\!$

Iniettività

Sia $f$ un endomorfismo fra spazi vettoriali. La funzione $f$ è iniettiva se e solo se il suo nucleo è costituito soltanto dall'elemento neutro. L'ipotesi di linearità per $f$ è essenziale: poiché $f(0)=0$, l'iniettività di $f$ implica che il nucleo consiste del solo elemento neutro 0. L'implicazione opposta è però meno immediata. Si supponga per ipotesi che il nucleo di $f$ consista del solo elemento neutro 0, allora se:

$f(v) = f(w)\,\!$

per la linearità si ha:

$f(v)-f(w) = f(v-w) = 0\,\!$

e quindi $v-w=0$ per ipotesi. In altre parole $v=w$, e la funzione è effettivamente iniettiva.

Teorema del rango

Per approfondire, vedi la voce Teorema del rango.

Sia $f$ un'applicazione fra spazi vettoriali $f:V\to W\,\!$. Le dimensioni del nucleo e dell'immagine di $f$ sono collegate tramite la seguente uguaglianza:

$\dim V = \dim \operatorname {ker}f + \dim \operatorname {Im} f.$

La nullità di una matrice $A$ può essere calcolata facendo uso del teorema del rango. In questo contesto la formula si traduce nel modo seguente:

$n = \operatorname{null}(A) + \operatorname{rk}(A).$

Nell'equazione, $n$ è il numero di colonne di $A$, null$(A)$ è l'indice di nullità e rk$(A)$ è il rango di $A$. Il calcolo della nullità si riduce quindi al calcolo del rango, per il quale esistono vari algoritmi. I metodi più noti fanno uso del determinante o dell'algoritmo di Gauss.

Teoria degli insiemi

Nell'ambito più generale di teoria degli insiemi, il nucleo di una funzione dall'insieme X all'insieme Y è definito alternativamente come la relazione d'equivalenza che lega gli elementi caratterizzati dalla stessa immagine o come la partizione che tale relazione genera in X.

Nei due casi, viene dunque definito simbolicamente da

$\mathop{\mathrm{ker}} f := \{(x,x') \in X \times X \mid f(x) = f(x')\}$

e da

$\mathop{\mathrm{ker}} f := \{\{w \in X : f(x)=f(w)\}, x \in X \}$

L'insieme quoziente X/_{ker f} (detto anche coimmagine di f) è naturalmente isomorfo all'immagine di f. La funzione risulta iniettiva se e solo se tale nucleo è la "diagonale" in $X \times X$. Immergendosi in morfismi tra strutture algebriche, la definizione risulta coerente con quella data sopra.

Esempi

Data la matrice

$A= \begin{bmatrix} \sin(x) & -\cos(x) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

dove $x$ è un qualsiasi numero reale, il nucleo di $A$ è l'insieme di vettori:

$\operatorname{Ker} A = \big\{\begin{bmatrix} \lambda \cos(x) & \lambda \sin(x) & 0 \\ \end{bmatrix}\ |\ \lambda\in\R\big\}$

Bibliografia

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992. ISBN 88-339-5035-2
• Kenneth Hoffman; Ray Kunze, Linear Algebra, 2^a ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971. ISBN 01-353-6821-9

Voci correlate

• Omomorfismo
• Nullità
• Rango di una matrice
• Teorema del rango
• Funzione iniettiva

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