Sottogruppo

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Un sottoinsieme H di un gruppo G è un sottogruppo se è un gruppo con l'operazione definita in G.

Ogni gruppo G contiene almeno due sottogruppi: il gruppo G stesso, ed il sottogruppo banale formato unicamente dall'elemento neutro di G. (Naturalmente questi coincidono se G ha un solo elemento.) Un sottogruppo si dice proprio se H è un sottoinsieme proprio di G.

Proprietà dei sottogruppi[modifica | modifica wikitesto]

Nel seguito, sia G un gruppo rispetto all'operazione *, e sia a^{-1} l'inverso di  a \in G.

Definizioni alternative[modifica | modifica wikitesto]

H è un sottogruppo di G se e solo se è non-vuoto ed è chiuso rispetto al prodotto e all'inverso. In altre parole:

  • per ogni a e b in H, il loro prodotto a*b è ancora in H;
  • per ogni a in H l'inverso a^{-1} è ancora in H.

Alternativamente, possiamo chiedere che:

  • per ogni a e b in H il prodotto a * b^{-1} è ancora in H.

Se H è finito, è un sottogruppo se e solo se è non vuoto, e chiuso rispetto al prodotto.

Intersezione e generatori[modifica | modifica wikitesto]

L'intersezione di due sottogruppi H e H' è ancora un sottogruppo di G. Invece l'unione insiemistica di due sottogruppi è un sottogruppo se e solo se uno dei due sottogruppi contiene l'altro.

Se S è un sottoinsieme di G esiste un sottogruppo più piccolo fra quelli che contengono S, che viene indicato con <S> e chiamato il sottogruppo generato da S. Un elemento di G è in <S> se e solo se è il prodotto di un numero finito di elementi di S o dei loro inversi.

Ogni elemento a genera quindi un sottogruppo ciclico <a>. Se <a> è isomorfo a Z/nZ per qualche intero positivo n, allora n è il più piccolo naturale per cui an = e, e n è l'ordine di a. Se <a> è isomorfo a Z, allora a ha ordine infinito.

I sottogruppi formano un reticolo completo con l'inclusione.

Proprietà preservate[modifica | modifica wikitesto]

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Sia G il gruppo abeliano i cui elementi sono

G={0,2,4,6,1,3,5,7}

e la cui operazione è l'addizione modulo 8, riassunta nella tavola di composizione seguente.

+ 0 2 4 6 1 3 5 7
0 0 2 4 6 1 3 5 7
2 2 4 6 0 3 5 7 1
4 4 6 0 2 5 7 1 3
6 6 0 2 4 7 1 3 5
1 1 3 5 7 2 4 6 0
3 3 5 7 1 4 6 0 2
5 5 7 1 3 6 0 2 4
7 7 1 3 5 0 2 4 6

Questo gruppo ha due sottogruppi non banali: J={0,4} e H={0,2,4,6}, dove J è anche un sottogruppo di H.

Classi laterali e Teorema di Lagrange[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi classe laterale e teorema di Lagrange (teoria dei gruppi).

Sia H un sottogruppo di G. La relazione su G

 a \sim b \Leftrightarrow ab^{-1} \in H

è una relazione d'equivalenza, e induce quindi una partizione di G.

Dato un elemento a, la classe laterale destra di H associata ad a è l'insieme

 Ha = \{ha | h \in H\}.

Si dimostra facilmente che i sottoinsiemi che formano la partizione di G sono le classi laterali destre di H. Due elementi a e a' danno la stessa classe destra se e solo se sono in relazione d'equivalenza. Il numero di queste classi è detto l'indice di H in G ed è indicato dal simbolo [G : H].

Poiché a è invertibile, la mappa

 \phi : H \rightarrow Ha, \quad \phi(h) = ha

è una biiezione, per ogni a. Da questo fatto segue il teorema di Lagrange, che dice che

 [ G : H ] = { o(G) \over o(H) }

dove o(G) e o(H) sono gli ordini (cioè il numero di elementi) di G e H.

In particolare, se G è finito, l'ordine di H deve dividere l'ordine di G.

Si definiscono analogamente le classi laterali sinistre, ottenendo lo stesso risultato. Se aH = Ha per ogni a (cioè le classi sinistre e destre coincidono), allora H è un sottogruppo normale.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]


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