Gruppo quoziente

In matematica, un gruppo quoziente è una particolare struttura algebrica che è possibile costruire a partire da un dato gruppo e un suo sottogruppo normale.

Definizione

Premessa

Sia $G$ un gruppo, e $H$ un suo sottogruppo normale. Si può introdurre la relazione di equivalenza su $G$ definita, per ogni $g,g'$ appartenenti a $G$, da

$g\sim g^{\prime }\quad {\overset {def}{\Longleftrightarrow }}\quad g^{\prime }g^{-1}\in H\quad \Longleftrightarrow \quad g^{\prime }=hg,\quad h\in H$.

Si indica con $[g]$ la classe d'equivalenza

$[g]=\{hg\mid h\in H\}=Hg$

per ogni $g$ appartenente a $G$ (laterale destro di $H$ in $G$). In modo analogo è possibile definire la classe

$[g]^{*}=\{gh\mid h\in H\}=gH$

(laterale sinistro), definita dalla relazione:

$g\sim ^{*}g^{\prime }\quad {\overset {def}{\Longleftrightarrow }}\quad g^{-1}g^{\prime }\in H\quad \Longleftrightarrow \quad g^{\prime }=gh,\quad h\in H$.

Poiché $H$ è normale, $[g]=[g]^{*}$, cioè i laterali coincidono.

Gruppo quoziente

Si definisce gruppo quoziente $G/H$ l'insieme

$G/H=\{[g]\mid g\in G\}$

delle classi d'equivalenza; la classe $[g]$ è ben definita, poiché la relazione d'equivalenza realizza una partizione di $G$, sicché

$g\not \sim g^{\prime }\Rightarrow [g]\cap [g^{\prime }]=\varnothing$

e

$\bigsqcup _{g\in G}[g]=G$.

L'insieme $G/H$ può anche essere visto come l'insieme dei laterali di $H$ in $G$.

Struttura di gruppo

L'insieme $G/H$ è ben definito per ogni tipo di sottogruppo; se però $H$ è normale (come è stato assunto), si può munire $G/H$ di una struttura di gruppo in modo naturale inducendo il prodotto da quello definito in $G$; si definisce infatti il seguente prodotto:

$*:G/H\times G/H\to G/H$

$gH*g^{\prime }H:=gg^{\prime }H$

ossia $\quad [g]*[g^{\prime }]:=[gg^{\prime }]$.

Questo soddisfa gli assiomi di gruppo, perché:

• se $a\sim a^{\prime }$ e $b\sim b^{\prime }$ (cioè se $a^{\prime }=ah$ e $b^{\prime }=bk$, con $h,k\in H$), allora $(ab)^{-1}a^{\prime }b^{\prime }=b^{-1}a^{-1}a^{\prime }b^{\prime }=b^{-1}hbk$, che appartiene a $H$ perché questo è normale; di conseguenza, $ab\sim a^{\prime }b^{\prime }$, e il prodotto è ben definito;
• l'elemento unità di $G/H$ è proprio $[1]$ (dove $1$ è l'elemento unità di $G$), in quanto, per ogni $g\in G$, si ha $gH*1H=(g1)H=gH$.
• vale la relazione $[g]^{-1}=[g^{-1}]$, perché $gH*g^{-1}H=(gg^{-1})H=1H$ (cioè $g^{-1}H$ è l'inverso di $gH$).

Pertanto, $(G/H,*)$ è un gruppo.

Proiezione

Per ogni gruppo quoziente, è possibile definire in modo naturale una proiezione canonica definita dall'applicazione:

$\pi :G\to G/H$

$g\to [g]$.

Questa applicazione è un omomorfismo tra gruppi, cioè

$\pi (gg^{\prime })=\pi (g)*\pi (g^{\prime })$

per ogni $g,g^{\prime }$ appartenenti a $G$. L'applicazione è anche evidentemente suriettiva, dato che, per ogni $[g]$, si ha

$\pi ^{-1}([g])\ni g$.

Il nucleo dell'applicazione, inoltre, è esattamente l'insieme $H$, dato che

$g\in \operatorname {Ker} (\pi )\Leftrightarrow \pi (g)=[1]\Leftrightarrow gH=1H\Leftrightarrow g=1h,h\in H\Leftrightarrow g\in H$

Bibliografia

• Serge Lang, Algebra lineare, Bollati Boringhieri, 1970, ISBN 88-339-5035-2.

Voci correlate

• Relazione di equivalenza
• Teorema di isomorfismo