Gruppo semplice

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In matematica, un gruppo semplice è un gruppo non banale i cui unici sottogruppi normali sono il sottogruppo banale e il gruppo stesso.

In altre parole, i gruppi semplici sono gruppi che contengono il minimo numero di sottogruppi normali. I gruppi semplici sono importanti in teoria dei gruppi, specialmente nella teoria dei gruppi finiti, perché formano i "blocchi primari" per la costruzione di ogni gruppo finito.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

  • Un gruppo ciclico G = Z / m Z è semplice se e solo se m è primo: infatti tutti i sottogruppi di G sono normali, e corrispondono ai divisori di m.
  • Il gruppo dei numeri interi Z non è semplice, perché ad esempio i numeri pari formano un sottogruppo normale. Più in generale, un gruppo abeliano è semplice se e solo se è ciclico di ordine primo.
  • Il più piccolo esempio di gruppo semplice non abeliano è il gruppo alternante A5 di ordine 60. Più in generale, ogni gruppo alternante An è semplice per n strettamente maggiore di 4.
  • Il secondo esempio è il gruppo lineare speciale proiettivo PSL(2,7), di ordine 168.

Classificazione[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Classificazione dei gruppi semplici finiti.

La classificazione dei gruppi semplici finiti fu conclusa nel 1982, grazie al contributo di numerosi matematici, tra cui John G. Thompson.

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