Lemma di Gauss (polinomi)

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Con il nome di lemma di Gauss ci si riferisce, nella teoria dei polinomi, a due diverse affermazioni:

  • il prodotto di due polinomi primitivi è anch'esso primitivo;
  • se un polinomio è irriducibile in \mathbb{Z}[x], allora è irriducibile anche in \mathbb{Q}[x], cioè un polinomio a coefficienti interi irriducibile negli interi è irriducibile anche nei razionali.

La seconda asserzione è una diretta conseguenza della prima ed entrambe si possono estendere al caso in cui al posto di \mathbb{Z} si considera un dominio a fattorizzazione unica R e al posto di \mathbb{Q} si considera il campo della frazioni F di R.

Prende il nome dal matematico tedesco Carl Friedrich Gauss.

Dimostrazione del primo lemma[modifica | modifica sorgente]

Siano f(x) e g(x) due polinomi primitivi (a coefficienti interi); questo vuol dire che il massimo comun divisore dei coefficienti di ciascun polinomio è 1. Supponiamo per assurdo che il loro prodotto h(x)=f(x) g(x) non sia primitivo: di conseguenza esisterà un primo p che divide tutti i coefficienti di h(x). Poiché f(x) e g(x) sono primitivi, esisteranno dei loro coefficienti che non sono divisi da p.

L'idea è ora di "costruire" un coefficiente di h(x) che non è diviso da p: consideriamo dunque i minimi coefficienti ar e bs che non sono divisi da p, e costruiamo cr+s, il coefficiente di h(x) di grado r+s. Lo possiamo scrivere come:

c_{r+s}=a_r b_s + (a_{r+1} b_{s-1} + a_{r+2} b_{s-2} + \ldots )+ (a_{r-1} b_{s+1} + a_{r-2} b_{s+2} + \ldots)

Il primo addendo non è divisibile per p; tuttavia lo sono le due quantità tra parentesi, in quanto ognuno tra i bs-1, bs-2... lo è, come ognuno tra i ar-1, ar-2, eccetera. Quindi si può scrivere

c_{r+s}=a_r b_s + ph

per un h intero. Ma cr+s è somma di una quantità divisibile e una no, e dunque non può essere divisibile per p e ciò è assurdo. Quindi h(x) è primitivo, come volevasi dimostrare.

Dimostrazione alternativa[modifica | modifica sorgente]

Un'altra dimostrazione può essere data usando l'anello \mathbb{Z}_p[x] dei polinomi a coefficienti nel campo finito \mathbb{Z}_p

Si assuma infatti per assurdo che h(x)=f(x) g(x) non sia primitivo. Come nella dimostrazione precedente, esisterà un primo p che divide tutti i suoi coefficienti. Allora nell'anello \mathbb{Z}_p[x] risulterà f(x) g(x)=0. Ma essendo \mathbb{Z}_p un campo, è anche un dominio d'integrità (ovvero, non esistono divisori dello zero), e quindi anche l'anello dei suoi polinomi è un dominio d'integrità. Quindi uno tra f(x) e g(x) dovrebbe essere 0 in \mathbb{Z}_p[x], ovvero tutti i suoi coefficienti dovrebbero essere divisibili per p. Ma avevamo supposto che sia f(x) che g(x) fossero primitivi, e quindi questo è assurdo, e h(x) è primitivo.

Dimostrazione del secondo lemma[modifica | modifica sorgente]

Questo secondo lemma è equivalente a dire che se un polinomio a coefficienti interi si scompone in \mathbb{Q}[x], allora si scompone anche in \mathbb{Z}[x].

Se f(x) non è primitivo allora si ottiene subito una scomposizione non banale in \mathbb{Z}[x] e quindi possiamo assumere, senza perdere in generalità, che f(x) sia primitivo. Se si pone f(x)=g(x) h(x), con g(x),h(x)\in\mathbb{Q}[x] non costanti, allora esistono a,b\in\mathbb{Q}\setminus\{0\} tali che g'(x)=a\cdot g(x) e h'(x)=b\cdot h(x) siano polinomi primitivi di \mathbb{Z}[x]. Abbiamo dunque:

f(x)=(a^{-1}\cdot a\cdot g(x))(b^{-1}\cdot b\cdot h(x))=(ab)^{-1}g'(x)h'(x)

Per il lemma precedente, il prodotto di g'(x) e h'(x) è primitivo come f(x), e quindi ab deve essere uguale a \pm 1, e quindi f(x) è riducibile in \mathbb{Z}[x].

Conseguenze[modifica | modifica sorgente]

  • Conseguenza del primo lemma è che l'MCD del prodotto di due polinomi è il prodotto del loro MCD.
  • Il secondo lemma implica che si può capire l'irriducibilità di un polinomio tra i razionali studiando un polinomio tra gli interi, dove possono essere applicati strumenti come il criterio di Eisenstein.