Gruppo sporadico

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In matematica, e in particolare in teoria dei gruppi, con gruppo sporadico si intende un gruppo semplice finito che è uno dei 26 casi eccezionali del teorema di classificazione dei gruppi semplici finiti. Questo teorema afferma infatti che, se G è un gruppo semplice finito allora, G è

I primi cinque gruppi sporadici furono scoperti da Emile Léonard Mathieu nel 1861 e nel 1873. I successivi furono scoperti tra il 1965 ed il 1975, generalmente prendono il nome dai loro scopritori.

Per via della loro struttura anomala, i gruppi sporadici sono oggetti matematici che presentano tuttora aspetti misteriosi e, presumibilmente ricchi di interessanti conseguenze. A tal proposito val la pena ricordare il problema del Monstrous Moonshine per il Mostro recentemente risolto da Richard Borcherds.

Lista ed ordini dei gruppi sporadici[modifica | modifica wikitesto]

I cinque gruppi di Mathieu:

  • M_{11}, di ordine 2^4\cdot 3^2\cdot 5\cdot 11;
  • M_{12}, di ordine 2^6\cdot 3^3\cdot 5\cdot 11;
  • M_{22}, di ordine 2^7\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 11;
  • M_{23}, di ordine 2^7\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 23;
  • M_{24}, di ordine 2^{10}\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 23.

I quattro gruppi di Janko:

  • J_1, di ordine 2^3\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 19;
  • J_2, di ordine 2^7\cdot 3^3\cdot 5^2\cdot 7;
  • J_3, di ordine 2^7\cdot 3^5\cdot 5\cdot 17\cdot 19;
  • J_4, di ordine 2^{21}\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7\cdot 11^3\cdot 23\cdot 29\cdot 31\cdot 37\cdot 43.

I tre gruppi di Conway:

  • Co_3, di ordine 2^{10}\cdot 3^7\cdot 5^3\cdot 7\cdot 11\cdot 23;
  • Co_2, di ordine 2^{18}\cdot 3^6\cdot 5^3\cdot 7\cdot 11\cdot 23;
  • Co_1, di ordine 2^{21}\cdot 3^9\cdot 5^4\cdot 7^2\cdot 11\cdot 13\cdot 23.

Il gruppo di Higman-Sims:

  • HS, di ordine 2^9\cdot 3^2\cdot 5^3\cdot 7.

Il gruppo di McLaughlin:

  • HS, di ordine 2^7\cdot 3^6\cdot 5^3\cdot 7\cdot 11.

Il gruppo di Suzuki:

  • Suz, di ordine 2^13\cdot 3^7\cdot 5^2\cdot 7\cdot 11\cdot 13.

Il gruppo di Held:

  • He, di ordine 2^{10}\cdot 3^3\cdot 5^2\cdot 7^3\cdot 17.

Il gruppo di Lyons:

  • Ly, di ordine 2^8\cdot 3^7\cdot 5^6\cdot 7\cdot 7\cdot 11\cdot 31\cdot 37\cdot 67.

Il gruppo di Rudvalis:

  • Ru, di ordine 2^{14}\cdot 3^3\cdot 5^3\cdot 7\cdot 13\cdot 29.

Il gruppo di O'Nan:

  • O'N, di ordine 2^9\cdot 3^4\cdot 5\cdot 7^3\cdot 11\cdot 19\cdot 31.

I tre gruppi di Fischer:

  • Fi_{22}, di ordine 2^{17}\cdot 3^9\cdot 5^2\cdot 7\cdot 11\cdot 13;
  • Fi_{23}, di ordine 2^{18}\cdot 3^{13}\cdot 5^2\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 23;
  • Fi_{24}', di ordine 2^{21}\cdot 3^{16}\cdot 5^2\cdot 7^3\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 23\cdot 29.

Il gruppo di Harada-Norton:

  • HN, di ordine 2^{14}\cdot 3^6\cdot 5^6\cdot 7\cdot 11\cdot 19.

Il gruppo di Thompson:

  • Th, di ordine 2^{15}\cdot 3^{10}\cdot 5^3\cdot 7^2\cdot 13\cdot 19\cdot 31.

Il Baby Mostro:

  • B, di ordine 2^{41}\cdot 3^13\cdot 5^6\cdot 7^2\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 19\cdot 23\cdot 31\cdot 47.

Il Mostro di Fischer-Griess:

  • M, di ordine 2^{46}\cdot 3^{20}\cdot 5^9\cdot 7^6\cdot 11^2\cdot 13^3\cdot 17\cdot 19\cdot 23\cdot 29\cdot 31\cdot 41\cdot 47\cdot 59\cdot 71.

Relazioni tra i gruppi sporadici[modifica | modifica wikitesto]

Può essere interessante notare che, contrariamente a quanto il loro nome possa far supporre, i gruppi sporadici hanno diversi legami tra loro e con gli altri gruppi semplici finiti. Ad esempio M_{11} può venire costruito a partire dall'automorfismo esterno eccezionale di Alt_6 e tutti i gruppi di Mathieu possono essere costruiti ricorsivamente come gruppi di automorfismi di sistemi di Steiner. Co_1 è il quoziente modulo un centro di ordine 2 del gruppo degli automorfismi del Reticolo di Leech (un reticolo intero 24-dimensionale di uno spazio euclideo di dimensione 24). Come stabilizzatori di certi sottoreticoli di dimensione 1 e 2 del Reticolo di Leech si possono trovare Co_2, Co_3, McL, HS, e come certi sottogruppi locali di Co_1, anche J_2 e Suz. Inoltre il Reticolo di Leech può essere costruito a partire dal sistema di Steiner S(24,8,5) associato a M_{24}. Esclusi i 6 gruppi J_1, O'N, J_3, Ly, Ru e J_4 (i cosiddetti Pariah), i restanti 20 gruppi sporadici sono contenuti come sezioni nel Mostro e molti di questi compaiono come fattori di composizione nei sottogruppi locali del Mostro: ad esempio il Baby Mostro e Co_1 compaiono come quozienti di centralizzanti di opportuni elementi di ordine 2 del Mostro, similmente nei normalizzanti dei sottogruppi di ordine 3 compaiono Fi_{24}' e Suz e, per opportuni sottogruppi di ordine 5, 7 e 11 si possono trovare in modo analogo rispettivamente J_2, He e M_{12}. Allo stesso modo, nelle sezioni di sottogruppi locali del Baby Mostro si possono inoltre trovare: Co_2 e HN nei centralizzanti di elementi di ordine 2, Fi_{22} nei normalizzanti di opportuni elementi di ordine 3 e HS in quelli di ordine 5.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Michael Aschbacher:Sporadic groupsCambridge University Press, Cambridge 1994
  • John Horton Conway: A perfect group of order 8,315,553,613,086,720,000 and the sporadic simple groups, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 61 (1968), 398-400.
  • John Horton Conway, J. H.; Curtis, R. T.; Norton, S. P.; Parker, R. A.; Wilson, R. A., Atlas of finite groups. Maximal subgroups and ordinary characters for simple groups. With computational assistance from J. G. Thackray. Eynsham: Oxford University Press, 1985, ISBN 0-19-853199-0
  • Daniel Gorenstein, Richard Lyons, Ronald Solomon The Classification of the Finite Simple Groups, Number 3 Memoirs Amer. Math. Soc. vol. 40 number 3, 1998
  • Robert L. Griess: "Twelve Sporadic Groups", Springer-Verlag, 1998.

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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