Prodotto diretto

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In algebra, il prodotto diretto di due gruppi è un altro gruppo, costruito prendendo il prodotto cartesiano di questi e definendo l'operazione termine a termine.

La costruzione si estende facilmente in alcuni casi in cui il gruppo ha anche delle strutture aggiuntive: è possibile quindi effettuare il prodotto diretto di spazi vettoriali e anelli.

Prodotto di due gruppi[modifica | modifica wikitesto]

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Il prodotto diretto di due gruppi (G1, *1), (G2, *2) è il gruppo (G1× G2, *×) che si ottiene munendo il prodotto cartesiano G1×G2 dell'operazione *× definita da

(a_1,a_2)*_\times(b_1,b_2):=(a_1 *_1 b_1, a_2 *_2 b_2),

con a_1 e b_1 appartenenti a G_1 e a_2 e b_2 appartenenti a G_2.

Generalmente è possibile, per semplicità di lettura, omettere i vari simboli di prodotto, sottintendendo che due elementi di un gruppo vengono moltiplicati col prodotto definito in quel gruppo, in questo modo la formula definitoria assume la forma più leggibile

(a_1,a_2)(b_1,b_2):=(a_1 b_1,a_2 b_2).

Data la definizione, occorre dimostrare la sua consistenza, cioè che il prodotto definito goda effettivamente delle proprietà gruppali.

  • L'associatività discende direttamente dall'analoga proprietà dei due gruppi G1 e G2.
  • L'elemento neutro è dato da (e1, e2) dove e1 ed e2 sono gli elementi unità di G1 e G2 rispettivamente. Infatti:
    (e_1,e_2)(a_1,a_2)=(e_1 a_1,e_2 a_2)=(a_1,a_2).
  • L'elemento inverso di (a1, a2) è
    (a_1,a_2)^{-1}:=(a_1^{-1},a_2^{-1}),
    infatti:
    (a_1^{-1},a_2^{-1})(a_1,a_2)=(a_1^{-1}a_1,a_2^{-1}a_2)=(e_1,e_2).

Se G1 e G2 sono scritti in notazione additiva, (G1× G2, +×) è anche detto somma diretta dei due gruppi.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • I due gruppi fattori G1 e G2 possono essere identificati canonicamente con due sottogruppi normali
     H_1 = \{(a_1, e_2)\ |\ a_1 \in G_1\}
     H_2 = \{(e_1, a_2)\ |\ a_2 \in G_2\}
    rispettivamente. Infatti le due applicazioni
     f_1:G_1 \to H_1\quad f_1(a_1) = (a_1, e_2)
     f_2:G_2 \to H_2\quad f_2(a_2) = (e_1, a_2)
    sono isomorfismi di gruppi.
  • Il prodotto di due gruppi finiti aventi n e m elementi è un gruppo con nm elementi.
  • Il prodotto di due gruppi abeliani è abeliano.
  • Il prodotto di due gruppi ciclici con p e q elementi è ciclico se e solo se p e q sono coprimi.

Un'estensione del concetto di prodotto diretto è il prodotto semidiretto tra gruppi.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Il prodotto diretto di n copie dello stesso gruppo G viene indicato con Gn. Ad esempio, otteniamo i gruppi Zn e Rn a partire dai gruppi Z e R rispettivamente dei numeri interi e reali.

Strutture aggiuntive[modifica | modifica wikitesto]

Anelli[modifica | modifica wikitesto]

Se A e B sono due anelli, il loro prodotto diretto A × B ha una naturale struttura di anello, ottenuta definendo sia la somma che il prodotto termine a termine come sopra.

Spazi vettoriali[modifica | modifica wikitesto]

Il prodotto diretto V × W di due spazi vettoriali ha una naturale struttura di spazio vettoriale, ottenuta definendo somma e prodotto per scalare termine a termine. Quindi:

 \lambda (v,w) = (\lambda v, \lambda w)

Se due sottospazi U e W di uno spazio vettoriale V sono in somma diretta, allora il sottospazio U + W che generano è isomorfo al loro prodotto diretto U × W.

L'esempio più importante di prodotto diretto di spazi vettoriali è Kn, definito come il prodotto diretto di n copie del campo K.

Campi[modifica | modifica wikitesto]

Il prodotto diretto di due campi è certamente un anello, ma non è mai un campo (a meno che uno dei due campi non sia banale). Infatti l'elemento (a, 0) non ha mai un inverso se a è diverso da zero.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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