Polinomio ciclotomico

In matematica, l'n-esimo polinomio ciclotomico è il polinomio monico le cui radici sono tutte e sole le radici n-esime primitive dell'unità

$\Phi_n(z) = \prod_{k=1}^{\varphi(n)} \left( z - z_k \right),$

dove $\varphi$ è la funzione di Eulero, e $z_k$ sono quei numeri distinti per cui vale

$\begin{align} z_k^n & = 1 \\ z_k^m & \neq 1 \quad \forall \, m < n. \end{align}$

Formula generale

Il polinomio $z^n - 1$ ha come radici tutte le radici n-esime, primitive e non primitive, dell'unità. Ognuna di queste radici è una radice d-esima primitiva, dove $d$ è un divisore positivo di $n$. Pertanto il polinomio si può scomporre nel prodotto di polinomi ciclotomici:

$z^n - 1 = \prod_{d \mid n}\Phi_d(z)$.

Applicando la formula di inversione di Möbius si ottiene

$\Phi_n(z) = \prod_{d \mid n}(z^{n/d}-1)^{\mu(d)} = \prod_{d\,\mid n}(z^{d}-1)^{\mu(n/d)},$

dove $\mu$ è la funzione di Möbius.

Proprietà

Ogni polinomio ciclotomico ha coefficienti interi, ed è irriducibile sul campo dei numeri razionali, ovvero non è possibile scomporlo come prodotto di polinomi a coefficienti razionali.

Se $p$ è un numero primo, il polinomio ciclotomico è formato dalla somma di tutte le potenze di $z$ da 0 a $p - 1$:

$\Phi_p(z) = \sum_{k=0}^{p - 1} z^k$.

Valutando l'espressione sopra su un qualunque numero naturale $n \in \mathbb{N}$, $\Phi_p(n)$ è una repunit in base $n$; segue che se un repunit è un numero primo allora la sua lunghezza in cifre è un numero primo. In generale, i valori assunti dai polinomi ciclotomici sugli interi sono soggetti a numerose altre limitazioni; ad esempio, se $p$ è primo e $d \mid \Phi_p$, allora $d \equiv 1 \mod p$ oppure $d \equiv 0 \mod p$.

Elenco di polinomi ciclotomici

I primi polinomi ciclotomici sono:

$\begin{align} \Phi_1(z) & = z - 1 \\ \Phi_2(z) & = z + 1 \\ \Phi_3(z) & = z^2 + z + 1 \\ \Phi_4(z) & = z^2 + 1 \\ \Phi_5(z) & = z^4 + z^3 + z^2 + z + 1. \end{align}$

È stato dimostrato da A. Migotti che se $n$ ha solo uno o due fattori primi dispari distinti, allora $\Phi_{n}$ ha solo coefficienti tra 1, 0 e -1. Il primo $n$ a non soddisfare queste ipotesi è $105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$, e calcolando $\Phi_{105}$ si nota che tra i coefficienti compare un -2. Il viceversa non vale: $\Phi_{651}(z)$ = $\Phi_{3\cdot 7\cdot 31}(z)$ ha solo coefficienti in $\{1, -1, 0\}$ ma 651 è prodotto di tre primi.

Voci correlate

• Radici dell'unità
• Estensione ciclotomica

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