Polinomio ciclotomico

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In matematica, l'n-esimo polinomio ciclotomico è il polinomio monico le cui radici sono tutte e sole le radici n-esime primitive dell'unità

\Phi_n(z) = \prod_{k=1}^{\varphi(n)} \left( z - z_k \right),

dove \varphi è la funzione di Eulero, e z_k sono quei numeri distinti per cui vale


\begin{align}
z_k^n & = 1 \\
z_k^m & \neq 1 \quad \forall \, m < n.
\end{align}

Formula generale[modifica | modifica sorgente]

Il polinomio z^n - 1 ha come radici tutte le radici n-esime, primitive e non primitive, dell'unità. Ognuna di queste radici è una radice d-esima primitiva, dove d è un divisore positivo di n. Pertanto il polinomio si può scomporre nel prodotto di polinomi ciclotomici:

z^n - 1 = \prod_{d \mid n}\Phi_d(z).

Applicando la formula di inversione di Möbius si ottiene


\Phi_n(z) = \prod_{d \mid n}(z^{n/d}-1)^{\mu(d)} = \prod_{d \mid n}(z^{d}-1)^{\mu(n/d)},

dove \mu è la funzione di Möbius.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Ogni polinomio ciclotomico ha coefficienti interi, ed è irriducibile sul campo dei numeri razionali, ovvero non è possibile scomporlo come prodotto di polinomi a coefficienti razionali.

Se p è un numero primo, il polinomio ciclotomico è formato dalla somma di tutte le potenze di z da 0 a p - 1:

\Phi_p(z) = \sum_{k=0}^{p - 1} z^k.

Valutando l'espressione sopra su un qualunque numero naturale n \in \mathbb{N}, \Phi_p(n) è una repunit in base n; segue che se un repunit è un numero primo allora la sua lunghezza in cifre è un numero primo. In generale, i valori assunti dai polinomi ciclotomici sugli interi sono soggetti a numerose altre limitazioni; ad esempio, se p è primo e d \mid \Phi_p, allora d \equiv 1 \mod p oppure d \equiv 0 \mod p.

Elenco di polinomi ciclotomici[modifica | modifica sorgente]

I primi polinomi ciclotomici sono:


\begin{align}
\Phi_1(z) & = z - 1 \\
\Phi_2(z) & = z + 1 \\
\Phi_3(z) & = z^2 + z + 1 \\
\Phi_4(z) & = z^2 + 1 \\
\Phi_5(z) & = z^4 + z^3 + z^2 + z + 1.
\end{align}

È stato dimostrato da A. Migotti che se n ha solo uno o due fattori primi dispari distinti, allora \Phi_{n} ha solo coefficienti tra 1, 0 e -1[1]. Il primo n a non soddisfare queste ipotesi è 105 = 3 \cdot 5 \cdot 7, e calcolando \Phi_{105} si nota che tra i coefficienti compare un -2. Il viceversa non vale: \Phi_{651}(z) = \Phi_{3\cdot 7\cdot 31}(z) ha solo coefficienti in \{1, -1, 0\} ma 651 è prodotto di tre primi distinti.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ (EN) Martin Isaacs, Algebra: A Graduate Course, AMS Bookstore, 2009, p. 310, ISBN 978-0-8218-4799-2.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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