Polinomio di Legendre

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In matematica per funzioni di Legendre si intendono le soluzioni dell'equazione di Legendre, un'equazione differenziale ordinaria che si incontra spesso nella fisica e in vari settori tecnologici: ad esempio nella soluzione in coordinate sferiche dell'equazione di Laplace e di equazioni differenziali alle derivate parziali. Queste funzioni sono così chiamate in onore di Adrien-Marie Legendre, e spesso intervengono nella soluzione dell'equazione di Schrödinger.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi equazione di Legendre.
Grafico dei polinomi di Legendre per n ≤ 5

L'equazione di Legendre si può risolvere con metodi standard delle serie di potenze. Si hanno soluzioni date da serie convergenti per |x| < 1. Si hanno soluzioni convergenti anche per x = ± 1 purché n sia un intero naturale, n = 0, 1, 2,... : in tal caso le soluzioni al variare di n formano una successione polinomiale detta successione dei polinomi di Legendre.

Il polinomio di Legendre Pn(x) ha grado n e può essere espresso mediante la formula di Rodriguez:

P_n(x) = (2^n n!)^{-1} {d^n \over dx^n } \left[ (x^2-1)^n \right]

I polinomi di Legendre sono polinomi ortogonali nell'intervallo -1 ≤ x ≤ 1 rispetto al prodotto interno L2:

\int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x)dx\, = {2 \over {2n + 1}} \delta_{mn}~.

qui \delta_{mn}~ denota la delta di Kronecker, uguale a 1 se m = n e uguale a 0 in caso contrario.

Una costruzione alternativa dei polinomi di Legendre consiste nell'effettuare il procedimento di Gram - Schmidt per la ortogonalizzazione della successione polinomiale {1, x, x2, ...}.

Questi sono i primi polinomi di Legendre:

P_0(x) \,=\, 1
P_1(x) \,=\, x
P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2 - 1)
P_3(x) = \frac{1}{2}(5x^3 - 3x)
P_4(x) = \frac{1}{8}(35x^4 - 30x^2 + 3)
P_5(x) = \frac{1}{8}(63x^5 - 70x^3 + 15x)
P_6(x) = \frac{1}{16}(231x^6 - 315x^4 + 105x^2 - 5)

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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