Polinomi di Laguerre

In matematica, i polinomi di Laguerre, sono polinomi speciali costituenti una successione di polinomi, che hanno numerose applicazioni; il loro nome ricorda il matematico francese Edmond Nicolas Laguerre (1834-1886). Essi si possono definire con un'espressione alla Rodrigues

$L_{n}(x):={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right),\quad {\text{per}}\quad n=0,1,2,3,\ldots$

Essi sono polinomi mutuamente ortogonali rispetto al prodotto interno espresso da

$\langle f,g\rangle =\int _{0}^{\infty }\,f(x)g(x)e^{-x}\,dx.$

La successione dei polinomi di Laguerre è una sequenza di Sheffer.

Polinomi dei gradi più bassi

I primi polinomi sono:

$\,L_{0}(x)=1,$

$\,L_{1}(x)=-x+1,$

$L_{2}(x)={\frac {1}{2}}x^{2}-2x+1,$

$L_{3}(x)={\frac {1}{6}}\left(-x^{3}+9x^{2}-18x+6\right).$

Come integrale di contorno

Questi polinomi possono essere espressi mediante un integrale di contorno dipendente da $n$

$L_{n}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint {\frac {e^{-(xt)/(1-t)}}{(1-t)\,t^{n+1}}}\;dt$

relativo a un contorno che compie un giro in verso antiorario intorno all'origine.

Polinomi di Laguerre generalizzati

La precedente uguaglianza esprimente la ortogonalità equivale ad affermare che se $X$ è una variabile casuale con distribuzione esponenziale

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}e^{-x},&{\text{se }}x>0,\\0,&{\text{se }}x<0,\end{matrix}}\right.$

allora

$E(L_{n}(X)L_{m}(X))=0,\qquad n\neq m.$

La distribuzione esponenziale non è la sola distribuzione gamma. Una successione polinomiale ortogonale rispetto alla distribuzione gamma la cui densità di probabilità è

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}x^{\alpha -1}e^{-x}/\Gamma (\alpha ),&{\text{se }}x>0,\\0,&{\text{se }}x<0,\end{matrix}}\right.$

(vedi funzione gamma) si ricava dalla definizione dei polinomi generalizzati di Laguerre:

$L_{n}^{(\alpha )}(x):={x^{-\alpha }e^{x} \over n!}{d^{n} \over dx^{n}}e^{-x}x^{n+\alpha }.$

Questi polinomi talora sono chiamati polinomi associati di Laguerre. I polinomi di Laguerre semplici costituiscono il caso particolare dei polinomi generalizzati relativo ad $\alpha =0$

$L_{n}^{(0)}(x)=L_{n}(x).$

I polinomi associati di Laguerre costituiscono una successione ortogonale sull'intervallo $[0,\infty )$ rispetto alla funzione peso $x^{\alpha }e^{-x}$:

$\int _{0}^{\infty }dx\,e^{-x}x^{\alpha }L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{m}^{(\alpha )}(x)={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)}{n!}}\delta _{nm}.$

Per valori interi di $\alpha$ la precedente espressione di definizione si può scrivere

$L_{n}^{(m)}(x)=(-1)^{m}{d^{m} \over dx^{m}}L_{n+m}(x).$

Relazione con i polinomi di Hermite

I polinomi generalizzati di Laguerre si presentano nella trattazione dell'oscillatore armonico quantistico, a causa della loro relazione con i polinomi di Hermite che può essere espressa dalle uguaglianze

$H_{2n}(x)=(-1)^{n}2^{2n}n!L_{n}^{(-1/2)}(x^{2})$

e

$H_{2n+1}(x)=(-1)^{n}2^{2n+1}n!xL_{n}^{(1/2)}(x^{2}),$

dove $H_{n}(x)$ denota il polinomio di Hermite di grado $n.$

Relazione con la serie ipergeometrica

I polinomi di Laguerre generalizzati si possono definire come caso particolare di funzione ipergeometrica confluente, come

$L_{n}^{a}(x)={n+a \choose n}M(-n,a+1,x)={\frac {(a+1)_{n}}{n!}}\,_{1}F_{1}(-n,a+1,x),$

dove $(a)_{n}$ denota il simbolo di Pochhammer.

Bibliografia

• (EN) Milton Abramowitz e Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Mineola, Dover Publications, 1964, ISBN 0-486-61272-4. (capitolo 22).

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Collegamenti esterni

• (EN) Laguerre polynomial, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Polinomi di Laguerre, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Polinomi di Laguerre, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.