Polinomi di Laguerre

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, i polinomi di Laguerre, sono polinomi speciali costituenti una successione di polinomi, che hanno numerose applicazioni; il loro nome ricorda il matematico francese Edmond Nicolas Laguerre (1834-1886). Essi si possono definire con una espressione alla Rodrigues


L_n(x):=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x} x^n\right) \quad \mbox{per} \quad n=0,1,2,3, ...
.

Essi sono polinomi mutuamente ortogonali rispetto al prodotto interno espresso da

\langle f,g \rangle = \int_0^\infty\, f(x) g(x) e^{-x} \,dx.

La successione dei polinomi di Laguerre è una sequenza di Sheffer.

Polinomi dei gradi più bassi[modifica | modifica sorgente]

I primi polinomi sono:

\,L_0(x)=1 ,
\,L_1(x)=-x+1 ,
L_2(x)=\frac{1}{2}x^2-2x+1 ,
L_3(x)=\frac{1}{6}\left(-x^3+9x^2-18x+6\right) .

Come integrale di contorno[modifica | modifica sorgente]

Questi polinomi possono essere espressi mediante un integrale di contorno dipendente da n

L_n(x)=\frac{1}{2\pi i}\oint\frac{e^{-(xt)/(1-t)}}{(1-t)\,t^{n+1}} \; dt

relativo a un contorno che compie un giro in verso antiorario intorno all'origine.

Polinomi di Laguerre generalizzati[modifica | modifica sorgente]

La precedente uguaglianza esprimente la ortogonalità equivale ad affermare che se X è una variabile casuale con distribuzione esponenziale

f(x)=\left\{\begin{matrix} e^{-x} & \mbox{se}\ x>0 \\ 0 & \mbox{se}\ x<0 \end{matrix}\right.

allora

E(L_n(X)L_m(X))=0\ , \qquad n\neq m .

La distribuzione esponenziale non è la sola distribuzione gamma. Una successione polinomiale ortogonale rispetto alla distribuzione gamma la cui densità di probabilità è

f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{\alpha-1} e^{-x}/\Gamma(\alpha) & \mbox{se}\ x>0 \\ 0 & \mbox{se}\ x<0 \end{matrix}\right.

(vedi funzione gamma) si ricava dalla definizione dei polinomi generalizzati di Laguerre:

L_n^{(\alpha)}(x):=
{x^{-\alpha} e^x \over n!}{d^n \over dx^n} e^{-x} x^{n+\alpha} .

Questi polinomi talora sono chiamati polinomi associati di Laguerre. I polinomi di Laguerre semplici costituiscono il caso particolare dei polinomi generalizzati relativo ad \alpha=0

L^{(0)}_n(x)=L_n(x) .

I polinomi associati di Laguerre costituiscono una successione ortogonale sull'intervallo [0,\infty) rispetto alla funzione peso x^\alpha e^{-x}:

\int_0^{\infty} dx\, e^{-x}x^\alpha L_n^{(\alpha)}(x) L_m^{(\alpha)}(x) = \frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!}\delta_{nm} .

Per valori interi di \alpha la precedente espressione di definizione si può scrivere

L_n^{(m)}(x) = (-1)^m{d^m \over dx^m} L_{n+m}(x) .

Relazione con i polinomi di Hermite[modifica | modifica sorgente]

I polinomi generalizzati di Laguerre si presentano nella trattazione dell'oscillatore armonico quantistico, a causa della loro relazione con i polinomi di Hermite che può essere espressa dalle uguaglianze

H_{2n}(x) = (-1)^n 2^{2n} n! L_n^{(-1/2)} (x^2)

e

H_{2n+1}(x) = (-1)^n 2^{2n+1} n! L_n^{(1/2)} (x^2)

dove H_n(x) denota il polinomio di Hermite di grado n.

Relazione con la serie ipergeometrica[modifica | modifica sorgente]

I polinomi di Laguerre generalizzati si possono definire come caso particolare di funzione ipergeometrica confluente, come

L^a_n(x) = {n+a \choose n} M(-n,a+1,x) =\frac{(a+1)_n} {n!}  \,_1F_1(-n,a+1,x)

dove (a)_n denota il simbolo di Pochhammer.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica