Polinomi di Laguerre

In matematica, i polinomi di Laguerre, sono polinomi speciali costituenti una successione di polinomi, che hanno numerose applicazioni; il loro nome ricorda il matematico francese Edmond Nicolas Laguerre (1834-1886). Essi si possono definire con una espressione alla Rodrigues

$L_n(x):=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x} x^n\right) \quad \mbox{per} \quad n=0,1,2,3, ...$ .

Essi sono polinomi mutuamente ortogonali rispetto al prodotto interno espresso da

$\langle f,g \rangle = \int_0^\infty\, f(x) g(x) e^{-x} \,dx$.

La successione dei polinomi di Laguerre è una sequenza di Sheffer.

Polinomi dei gradi più bassi

I primi polinomi sono:

$\,L_0(x)=1\,$ ,

$\,L_1(x)=-x+1\,$ ,

$L_2(x)=\frac{1}{2}x^2-2x+1$ ,

$L_3(x)=\frac{1}{6}\left(-x^3+9x^2-18x+6\right)$ .

Come integrale di contorno

Questi polinomi possono essere espressi mediante un integrale di contorno dipendente da n

$L_n(x)=\frac{1}{2\pi i}\oint\frac{e^{-(xt)/(1-t)}}{(1-t)\,t^{n+1}} \; dt$

relativo a un contorno che compie un giro in verso antiorario intorno all'origine.

Polinomi di Laguerre generalizzati

La precedente uguaglianza esprimente la ortogonalità equivale ad affermare che se X è una variabile casuale con distribuzione esponenziale

$f(x)=\left\{\begin{matrix} e^{-x} & \mbox{se}\ x>0 \\ 0 & \mbox{se}\ x<0 \end{matrix}\right.$

allora

$E(L_n(X)L_m(X))=0\ , \qquad n\neq m$ .

La distribuzione esponenziale non è la sola distribuzione gamma. Una successione polinomiale ortogonale rispetto alla distribuzione gamma la cui densità di probabilità è

$f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{\alpha-1} e^{-x}/\Gamma(\alpha) & \mbox{se}\ x>0 \\ 0 & \mbox{se}\ x<0 \end{matrix}\right.$

(vedi funzione gamma) si ricava dalla definizione dei polinomi generalizzati di Laguerre:

$L_n^{(\alpha)}(x):= {x^{-\alpha} e^x \over n!}{d^n \over dx^n} e^{-x} x^{n+\alpha}$ .

Questi polinomi talora sono chiamati polinomi associati di Laguerre. I polinomi di Laguerre semplici costituiscono il caso particolare dei polinomi generalizzati relativo ad $\alpha=0$

$L^{(0)}_n(x)=L_n(x)$ .

I polinomi associati di Laguerre costituiscono una successione ortogonale sull'intervallo $[0,\infty)$ rispetto alla funzione peso $x^\alpha e^{-x}$:

$\int_0^{\infty} dx\, e^xx^\alpha L_n^{(\alpha)}(x) L_m^{(\alpha)}(x) = \frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!}\delta_{nm}$ .

Per valori interi di $\alpha=0$ la precedente espressione di definizione si può scrivere

$L_n^{(m)}(x) = (-1)^m{d^m \over dx^m} L_{n+m}(x)$ .

Relazione con i polinomi di Hermite

I polinomi generalizzati di Laguerre si presentano nella trattazione dell'oscillatore armonico quantistico, a causa della loro relazione con i polinomi di Hermite che può essere espressa dalle uguaglianze

$H_{2n}(x) = (-1)^n 2^{2n} n! L_n^{(-1/2)} (x^2)$

e

$H_{2n+1}(x) = (-1)^n 2^{2n+1} n! L_n^{(1/2)} (x^2)$

dove $H_n(x)$ denota il polinomio di Hermite di grado n.

Relazione con la serie ipergeometrica

I polinomi di Laguerre generalizzati si possono definire come caso particolare di funzione ipergeometrica confluente, come

$L^a_n(x) = {n+a \choose n} M(-n,a+1,x) =\frac{(a+1)_n} {n!} \,_1F_1(-n,a+1,x)$

dove $(a)_n$ denota il simbolo di Pochhammer.

Bibliografia

• Milton Abramowitz, Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. (capitolo 22).

Collegamenti esterni

• Laguerre polynomial in MathWorld

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