Variabile casuale

In teoria della probabilità, una variabile casuale (dall'inglese random variable, in italiano variabile aleatoria o variabile stocastica) è una variabile che può assumere valori diversi in dipendenza da qualche fenomeno aleatorio - è una legge che informa sui risultati di un esperimento prima che l'esperimento sia realizzato. Ad esempio, il risultato del lancio di un dado a sei facce può essere matematicamente modellato come una variabile casuale che può assumere uno dei sei possibili valori $1, 2, 3, 4, 5, 6$.

Il termine aleatorio deriva da alea ed esprime il concetto di rischio calcolato, non casuale (alea iacta est). La denominazione alternativa stocastico è stata introdotta da Bruno De Finetti. Il termine casuale è una traduzione diretta dall'inglese di random.

Definizione

Più formalmente, sia dato uno spazio campionario ${\Omega}$ su cui è definita una misura di probabilità $\nu$, una variabile casuale è una funzione misurabile dallo spazio campionario a uno spazio misurabile; in questa definizione la nozione di misurabilità è quella definita da Lindgren (1976): una funzione $X$ definita sullo spazio campionario ${\Omega}$ si dice misurabile rispetto al campo di Borel $\mathcal{B}$ se e solo se l'evento $\{\omega\in \Omega : X(\omega) \leq \lambda \}$ appartiene a $\mathcal{B}$ per ogni ${\lambda}$.

• Le variabili casuali a una dimensione (cioè a valori in $\R$) si dicono semplici o univariate.
• Le variabili casuali a più dimensioni si dicono multiple o multivariate (doppie, triple, k-uple).

Variabili casuali che dipendono da un parametro t (t come tempo) vengono considerate processi stocastici.

Distribuzione di probabilità

Per approfondire, vedi Misura di probabilità.

Ad una variabile casuale $X$ si associa la sua distribuzione, o legge di probabilità $P_X$, che assegna ad ogni sottoinsieme dell'insieme dei possibili valori di $X$ la probabilità che la variabile casuale $X$ assuma valore in esso. In formule, se $X$ è una variabile casuale che ha valori in $H$ ed $A$ è un sottoinsieme di $H$, la distribuzione di probabilità di $X$ in $A$ vale

$P_X (A) := P(X\in A) = \nu(X^{-1}(A))$

dove $\nu$ è la misura di probabilità definita sullo spazio campionario.

Per variabili aleatorie a valori reali, la legge di probabilità della variabile casuale $X$ è individuata univocamente dalla sua funzione di ripartizione, definita come $F(x)= P(X \le \ x)$. Inoltre:

• se la variabile casuale X è discreta, cioè l'insieme dei possibili valori (il rango o supporto di $X$) è finito o numerabile, è definita anche la funzione di massa (o funzione massa di probabilità o densità discreta), ossia la funzione di probabilità discreta

$p(x)=P(X=x)$

• se la variabile casuale $X$ è continua, cioè l'insieme dei possibili valori ha la potenza del continuo, è definita anche la funzione di densità di probabilità, cioè la funzione $f$ non negativa tale per cui

$P(X\in A)=\int_A f(x)dx$

Descrivere in termini probabilistici o statistici un fenomeno aleatorio nel tempo, caratterizzabile dunque da una variabile aleatoria, vuol dire descriverlo in termini di densità di distribuzione di probabilità e dei suoi parametri di media o valore atteso e varianza.

Storia

Ancorché non formalizzato, il concetto della distribuzione statistica attorno ad una media era noto fin dall'antichità. Leggiamo infatti nel Fedone di Platone:

«E non è ingiusto, questo? Non è forse vero che chi si comporta così, evidentemente vive tra gli uomini senza averne nessuna esperienza? Se, infatti, li conoscesse appena, saprebbe che son pochi quelli veramente buoni o completamente malvagi e che per la maggior parte, invece, sono dei mediocri.»
«In che senso?» feci.
«È lo stesso delle cose molto piccole e molto grandi. Credi forse che sia tanto facile trovare un uomo o un cane o un altro essere qualunque molto grande o molto piccolo o, che so io, uno molto veloce o molto lento o molto brutto o molto bello o tutto bianco o tutto nero? Non ti sei mai accorto che in tutte le cose gli estremi sono rari mentre gli aspetti intermedi sono frequenti, anzi numerosi?»

(Platone, Fedone, XXXIX)

Alcune variabili casuali utilizzate in statistica

Le variabili casuali si dividono principalmente in due grandi classi, discrete e continue (o assolutamente continue): Esempi del primi tipo:

• variabile casuale uniforme discreta
• variabile casuale bernoulliana, caso particolare della Binomiale
• variabile casuale binomiale
• variabile casuale poissoniana detta pure legge degli eventi rari
• variabile casuale geometrica, caso particolare della distribuzione di Pascal
• variabile casuale ipergeometrica
• variabile casuale degenere

Esempi del secondo tipo:

• variabile casuale normale o gaussiana
• variabile casuale Gamma o Erlanghiana
• variabile casuale t di Student
• variabile casuale di Fisher-Snedecor
• variabile casuale esponenziale negativa, caso particolare della v.c. Gamma
• variabile casuale Chi Quadrato χ², caso particolare della v.c. Gamma
• variabile casuale Beta
• variabile casuale rettangolare o uniforme continua
• variabile casuale di Cauchy

Tali classi non sono però esaustive della famiglia delle variabili casuali; esiste anche una terza classe, delle variabili casuali singolari o continue singolari, come la variabile casuale di Cantor.

Il teorema di rappresentazione di Lebesgue ci assicura che ogni funzione di ripartizione (e dunque ogni variabile casuale) è rappresentabile come combinazione convessa di una funzione di ripartizione discreta, una continua e una singolare. Variabili casuali che non appartengono a nessuna delle tre classi vengono dette miste.

Si può comunque dimostrare che le classi delle v.c. discrete e delle v.c. continue sono dense nella classe di tutte le variabili casuali rispetto alla convergenza in distribuzione, cioè per ogni variabile casuale esiste una successione di v.c. discrete (rispettivamente continue) che converge in distribuzione alla variabile data.

Voci correlate

• Mistura di distribuzioni
• Variabile casuale standardizzata
• Winsorizzazione

Collegamenti esterni

• Variabile casuale in Tesauro del Nuovo Soggettario. BNCF, marzo 2013

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