Variabile casuale

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In teoria della probabilità, una variabile casuale (o variabile aleatoria o variabile stocastica o random variable) può essere pensata come il risultato numerico di un esperimento quando questo non è prevedibile con certezza (ossia non è deterministico). Ad esempio, il risultato del lancio di un dado a sei facce può essere matematicamente modellato come una variabile casuale che può assumere uno dei sei possibili valori $1,2,3,4,5,6$ . Bruno de Finetti definiva numero aleatorio (termine suggerito dallo stesso per denotare la variabile casuale) un numero ben determinato ma non noto per carenza di informazioni.

Indice

1 Definizione
2 Distribuzione di probabilità
3 Storia
4 Alcune variabili casuali utilizzate in statistica
5 Teoremi
6 Voci correlate

[modifica] Definizione

Più formalmente, dato uno spazio campionario $Ω$ su cui è definita una misura di probabilità $ν$ , una variabile casuale è una funzione misurabile dallo spazio campionario a uno spazio misurabile; in questa definizione la nozione di misurabilità è quella definita da Lindgren (1976): una funzione $X$ definita sullo spazio campionario $Ω$ si dice misurabile rispetto al campo di Borel $\mathcal{B}$ se e solo se l'evento $\{\omega\in \Omega : X(\omega) \leq \lambda \}$ appartiene a $\mathcal{B}$ per ogni $λ$ .

Le variabili casuali a una dimensione (cioè a valori in $\R$ ) si dicono semplici o univariate.
Le variabili casuali a più dimensioni si dicono multiple o multivariate (doppie, triple, k-uple).

Variabili casuali che dipendono da un parametro t (t come tempo) vengono considerate processi stocastici.

[modifica] Distribuzione di probabilità

Per approfondire, vedi la voce Misura di probabilità.

Ad una variabile casuale X si associa la sua distribuzione, o legge di probabilità $P X$ , che assegna ad ogni sottoinsieme dell'insieme dei possibili valori di $X$ la probabilità che la variabile casuale X assuma valore in esso. In formule, se $X$ è una variabile casuale che ha valori in $H$ e $A$ è un sottoinsieme di $H$ , la distribuzione di probabilità di $X$ in $A$ vale

$P_X (A) := P(X\in A) = \nu(X^{-1}(A))$

dove $ν$ è la misura di probabilità definita sullo spazio campionario.

Per variabili aleatorie a valori reali, la legge di probabilità della variabile casuale $X$ è individuata univocamente dalla sua funzione di ripartizione, definita come $F(x)= P(X \le \ x)$ . Inoltre:

se la variabile casuale X è discreta, cioè l'insieme dei possibili valori (il rango o supporto di $X$ ) è finito o numerabile, è definita anche la funzione di probabilità o funzione di distribuzione o funzione massa di probabilità

p (x) = P (X = x)

se la variabile casuale $X$ è continua, cioè l'insieme dei possibili valori ha la potenza del continuo, è definita anche la funzione di densità di probabilità, cioè la funzione $f$ non negativa tale per cui

$P(X\in A)=\int_A f(x)dx$

[modifica] Storia

Ancorché non formalizzato, il concetto della distribuzione statistica attorno ad una media era noto fin dall'antichità. Leggiamo infatti nel Fedone di Platone:

«E non è ingiusto, questo? Non è forse vero che chi si comporta così, evidentemente vive tra gli uomini senza averne nessuna esperienza? Se, infatti, li conoscesse appena, saprebbe che son pochi quelli veramente buoni o completamente malvagi e che per la maggior parte, invece, sono dei mediocri.»
«In che senso?» feci.
«È lo stesso delle cose molto piccole e molto grandi. Credi forse che sia tanto facile trovare un uomo o un cane o un altro essere qualunque molto grande o molto piccolo o, che so io, uno molto veloce o molto lento o molto brutto o molto bello o tutto bianco o tutto nero? Non ti sei mai accorto che in tutte le cose gli estremi sono rari mentre gli aspetti intermedi sono frequenti, anzi numerosi?»

(Platone, Fedone, XXXIX)

[modifica] Alcune variabili casuali utilizzate in statistica

Le variabili casuali si dividono principalmente in due grandi classi, discrete e continue (o assolutamente continue): Esempi del primi tipo:

variabile casuale uniforme discreta
variabile casuale bernoulliana, caso particolare della Binomiale
variabile casuale binomiale
variabile casuale poissoniana detta pure legge degli eventi rari
variabile casuale geometrica o di Pascal
variabile casuale ipergeometrica
variabile casuale degenere

Esempi del secondo tipo:

variabile casuale normale o gaussiana
variabile casuale Gamma o Erlanghiana
variabile casuale t di Student
variabile casuale esponenziale negativa, caso particolare della v.c. Gamma
variabile casuale Chi Quadrato χ², caso particolare della v.c. Gamma
variabile casuale Beta
variabile casuale rettangolare o uniforme continua
variabile casuale di Cauchy

Tali classi non sono però esaustive della famiglia delle variabili casuali; esiste anche una terza classe, delle variabili casuali singolari o continue singolari, come la variabile casuale di Cantor.

Il teorema di rappresenzazione di Lebesgue ci assicura che ogni funzione di ripartizione (e dunque ogni variabile casuale) è rappresentabile come combinazione convessa di una funzione di ripartizione discreta, una continua e una singolare. Variabili casuali che non appartengono a nessuna delle tre classi vengono dette miste.

Si può comunque dimostrare che le classi delle v.c. discrete e delle v.c. continue sono dense nella classe di tutte le variabili casuali rispetto alla convergenza in distribuzione, cioè per ogni variabile casuale esiste una successione di v.c. discrete (rispettivamente continue) che converge in distribuzione alla variabile data.

[modifica] Teoremi

Se: $X 1, X 2,..., X n$ sono variabile casuale Bernoulliane uguali e indipendenti
allora: $X = X 1 + X 2 + ... + X n$ , è una variabile casuale binomiale $B (n, p)$

Se: $X$ è una variabile casuale binomiale $B (n, p)$ con $n$ molto grande (orientativamente più di 50) e $p$ molto piccolo, tale che $n p$ è, orientativamente, minore di 10 e $p (1 - p)$ quasi uguale a $p$ ,
allora: può essere approssimata con una variabile casuale poissoniana ove $λ = n p$ .

Se: $X$ è una variabile casuale binomiale $B (n, p)$ con $n$ molto grande, ma $n p > 10$ (e dunque non vale l'approssimazione con la poissoniana),
allora: può essere approssimata con una variabile casuale normale con valore atteso pari a $n p$ e varianza uguale a $n p q$ : $N (n p, n p q)$

Se: $X$ e $Y$ sono due variabili casuali indipendenti, distribuite come una variabile casuale poissoniana con parametro rispettivamente $λ X$ e $λ Y$
allora: $Z = X + Y$ è a sua volta una variabile casuale Poissoniana con parametro $λ Z = λ X + λ Y$

Se: $X$ e $Y$ sono due variabile casuale Gamma in senso stretto ( $a = 1$ ) con il parametro $p$ uguale rispettivamente a $n$ e $m$
allora: $Z = X / Y$ è distribuita come una variabile casuale Beta con i parametri $p = n$ e $q = m$

Se: $X$ e $Y$ sono due variabile casuale identiche e indipendenti distribuite come una variabile casuale esponenziale negativa con parametro $a$
allora: $Z = X + Y$ è una variabile casuale Gamma con parametri $a$ e $p = 2$

La variabile casuale esponenziale negativa viene usata in relazione alla variabile casuale poissoniana in quanto:

se: il numero di successi entro un predeterminato intervallo di tempo è distribuito come una poissoniana (con parametro $λ$ ),
allora: l'intervallo di tempo che passa tra due successi è distribuito come una esponenziale negativa con $a = λ$ ;

e viceversa.

Se: $X 1, X 2,..., X n$ sono $n$ variabili casuali $χ 2$ tra di loro indipendenti, ciascuna con $g i$ gradi di libertà,
allora: la variabile casuale $Y = X 1 + X 2 + ... + X n$ è a sua volta una variabile casuale $χ 2$ con $g$ gradi di libertà, ove $g = g 1 + g 2 + ... + g n$

Se: $Z$ è una variabile casuale normale standardizzata $N (0,1)$ , e $X = Z 2$
allora: $X$ è una variabile casuale $χ 2$ con 1 grado di libertà.

Considerato un campione di $n$ elementi estratto da una popolazione normale $Z (μ,σ 2)$ indicando con $S 2$ la distribuzione della varianza campionaria sarà:

$n S^2 / \sigma^2 \sim \chi^2_{n-1}$

Se: $X$ è una variabile casuale t di Student e $g \to \infty$
allora: $X$ tende ad una variabile casuale normale standardizzata ( $μ = 0$ e $σ 2 = 1$ )

Se: $Z \sim N(0,1) \,$ e $X \sim \chi^2_g$ ,
allora: $T=\frac{Z}{\sqrt{X/g}}$ è distribuita come una variabile casuale t di Student con $g$ gradi di libertà.

variabile casuale F di Snedecor:

Se: il secondo grado di libertà è molto grande,
allora: la F di Snedecor tende verso una variabile casuale Gamma con $a = p = g / 2$

Se: entrambi i gradi di libertà sono molto grandi,
allora: si può usare la normale

Se: il primo grado di libertà è pari ad 1,
allora: si può usare la variabile casuale t di Student

Se: $X_{g_1}$ e $X_{g_2}$ sono variabili casuali Chi Quadrato con rispettivamente $g 1$ e $g 2$ gradi di libertà
allora: $\frac{X_{g_1}/g_1}{X_{g_2}/g_2}$ è distribuita come una variabile casuale F di Snedecor con $g 1$ e $g 2$ gradi di liberta;

Se: in un processo markoviano (continuo nel tempo) nascite-morti, con le condizioni iniziali $P n (0) = 1$ per $n = 0$ e 0 altrimenti, si osserva un processo di pure nascite con tasso costante $λ$ ;
allora: si ottiene la soluzione $P n (t) = e - λ t (λ t) k / k!$ , ovvero una variabile casuale poissoniana con parametro $λ t$