Polinomi ortogonali

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In matematica, una famiglia di polinomi p_n(x) per n=0,1,2,\ldots, dove per ogni n si ha un polinomio di grado n, si dice una sequenza di polinomi ortogonali nell'intervallo [a,b] rispetto alla funzione peso w(x) positiva nell'intervallo scelto se

\int_a^b w(x) p_n(x) p_m(x)\, dx = 0 \qquad \forall n,m=0,1,2,\dots \qquad \mbox{con } n\neq m.

Mentre i polinomi di una qualsiasi sequenza polinomiale possono essere considerati vettori di uno spazio vettoriale mutuamente linearmente indipendenti, i componenti di una sequenza di polinomi ortogonali si possono considerare vettori mutuamente ortogonali di uno spazio vettoriale con prodotto interno, quando si definisce questa funzione bilineare chiedendo che applicata a una qualsiasi coppia di polinomi p(x) e q(x) dia

\int_a^b w(x)p(x)q(x)\, dx.

Esempi di successioni di polinomi ortogonali sono:

  • I polinomi di Jacobi, ortogonali nell'intervallo [-1,1] rispetto alla distribuzione di probabilità (1-x)^{\alpha}(1+x)^{\beta}
  • I polinomi di Laguerre L_n^{(\alpha)} (x) con \alpha > -1, ortogonali nell'intervallo [0,+\infty) rispetto alla distribuzione di probabilità x^\alpha e^{-x}

Un'altra possibilità è definire un prodotto interno:

(f_n,f_m) = \sum_{i=a}^b w(x_i) f_n(x_i)^* f_m(x_i)

dove gli x_i sono numeri interi nell'intervallo [a,b]. Con questa definizione,

Esiste una classificazione dei polinomi ortogonali inventata dal matematico americano Richard Askey che utilizza le funzioni ipergeometriche.

Polinomi ortonormali[modifica | modifica wikitesto]

In linea con la definizione di base ortonormale, dei polinomi ortogonali si dicono ortonormali se soddisfano la relazione:

(p_i,p_i) = \int_a^b w(x) p_i(x) p_i(x)\, dx = 1

per ogni i.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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