Polinomi di Fibonacci

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In matematica, i polinomi di Fibonacci sono una generalizzazione dei numeri di Fibonacci. Questi polinomi sono definiti ricorsivamente come:

F_n(x)=\left\{\begin{matrix}
1,\qquad\qquad\qquad\qquad&\mbox{se }n=1\\
x,\qquad\qquad\qquad\qquad&\mbox{se }n=2\\
xF_{n-1}(x)+F_{n-2}(x),&\mbox{se }n\ge3
\end{matrix}\right.

I primi polinomi di Fibonacci sono:

F_1(x)=1
F_2(x)=x
F_3(x)=x^2 + 1
F_4(x)=x^3 + 2x
F_5(x)=x^4 + 3x^2 + 1
F_6(x)=x^5 + 4x^3+ 3x

Altre espressioni[modifica | modifica sorgente]

La formula esplicita per l'n-esimo polinomio di Fibonacci è:

\sum_{k = 0}^{\left[ \frac{n - 1}{2} \right]} \binom{n - k - 1}{k} x^{n - 2k - 1},

dove le parentesi quadre rappresentano la funzione parte intera.

Calcolo dei polinomi di Fibonacci a partire dal triangolo di Tartaglia

I coefficienti del polinomio n-esimo si possono ricavare anche dal triangolo di Tartaglia tramite il seguente algoritmo:

  1. si dispongono i numeri del triangolo incolonnati con allineamento a sinistra;
  2. si prende il primo elemento della n-esima riga;
  3. si prende il secondo elemento della n-esima riga (se esiste);
  4. da questo si procede in diagonale, spostandosi di una riga in alto e una colonna a destra, fino a che si trovano elementi.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

  • Valutando i polinomi per x = 1\ , che è lo stesso che sommare i coefficienti di ciascun polinomio, si ottengono i numeri di Fibonacci;
  • i polinomi di Fibonacci F_n(x) e F_m(x) sono divisibili fra loro se lo sono n\ e m\ ;
  • le radici del polinomio F_n(x) sono date dalla seguente formula:
2i \cos \left( \frac{k \pi}{n} \right) ,\, k = 1,2, \ldots , n - 1;

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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