Sequenza di Sturm

Si definisce sequenza di Sturm su un intervallo $(a,b)$, dove $a$ e/o $b$ possono essere infiniti, una sequenza di polinomi

$f_{1}(x),f_{2}(x)...f_{n}(x)$

tale che

• $f_{n}(x)$ non si annulla mai su $(a,b)$
• Per ogni zero di $f_{k}(x)$ con $k=2,3...n-1$ si ha $f_{k-1}(x)f_{k+1}(x)<0$

Il nome deriva dal matematico Jacques Charles François Sturm.

Teorema

Per $a<x<b$ definiamo la funzione $V(x)$ come il numero di volte che i termini della sequenza $f_{1}(x),f_{2}(x),...,f_{n}(x)$ cambiano segno, ignorando gli zeri. Se $a$ è finita allora definiamo $V(a)$ come $V(a+\varepsilon )$ dove $\varepsilon$ è tale che $f_{i}(x)\neq 0$ per $i=1,2...n$ e per ogni $x\in (a,a+\varepsilon )$ e definiamo analogamente $V(b)$. Se $a=-\infty$ allora definiamo $V(a)$ come il numero di volte che i termini della sequenza $\left\{\lim _{x\rightarrow -\infty }f_{i}(x)\right\}$ cambiano segno, e analogamente definiamo $V(b)$.

È possibile esprimere il teorema:

Sia $\left\{f_{i}(x)\right\}_{i=1,2...n}$ una sequenza di Sturm sull'intervallo $(a,b)$ allora se né $f_{1}(a)$ e né $f_{1}(b)$ è uguale a zero,

$I_{a}^{b}{\frac {f_{2}(x)}{f_{1}(x)}}=V(a)-V(b)$

dove si è usato l'indice di Cauchy.

Dimostrazione

Consideriamo $x$ spostarsi sull'asse dei reali, il valore di $V(x)$ non cambia quando $x$ attraversa uno zero di $f_{k}(x)$ con $k=2,3...n$ a causa della seconda proprietà delle sequenze di Sturm, quindi $V(x)$ cambia solo quando $x$ attraversa uno zero di $f_{1}(x)$. Se $x_{0}$ è uno zero di $f_{1}(x)$ allora non è uno zero di $f_{2}(x)$ sempre a causa della seconda proprietà, per cui $f_{2}(x)$ ha lo stesso segno sia alla destra di $x_{0}$ che alla sinistra.

Se $x_{0}$ ha molteplicità pari allora $f_{1}(x)$ non cambia di segno quando $x$ attraversa $x_{0}$ e di conseguenza $V(x)$ non cambia, invece se $x_{0}$ ha molteplicità dispari allora $V(x)$ aumenta di 1 se $f_{1}(x)$ e $f_{2}(x)$ hanno lo stesso segno alla sinistra di $x_{0}$, viceversa $V(x)$ diminuisce di 1 se $f_{1}(x)$ e $f_{2}(x)$ hanno segno opposto alla sinistra di $x_{0}$. In modo corrispondente per gli zeri con moltiplicità dispari l'indice di Cauchy riceve un contributo -1 se $f_{1}(x)$ e $f_{2}(x)$ hanno lo stesso segno alla sinistra di $x_{0}$, o un contributo +1 se $f_{1}(x)$ e $f_{2}(x)$ hanno segno opposto alla sinistra di $x_{0}$.