Polinomio di Čebyšëv

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I polinomi di Čebyšëv sono le componenti di una successione polinomiale che inizia con i seguenti polinomi:

 T_0(x) = 1
 T_1(x) = x
 T_2(x) = 2x^2 - 1
 T_3(x) = 4x^3 - 3x
 T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1
 T_5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x
 T_6(x) = 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1
 T_7(x) = 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x
 T_8(x) = 128x^8 - 256x^6 + 160x^4 - 32x^2 + 1
 T_9(x) = 256x^9 - 576x^7 + 432x^5 - 120x^3 + 9x

Traggono il loro nome dal matematico russo Pafnutij L'vovič Čebyšëv, che li studiò come soluzioni polinomiali della seguente equazione differenziale, anch'essa detta di Čebyšëv:

(1-x^2)\,y'' - x\,y' + n^2\,y = 0

I polinomi che esaminiamo sono detti anche polinomi di Čebyšëv di prima specie, per distinguerli dai polinomi di un'altra successione polinomiale detti polinomi di Čebyšëv di seconda specie.

Evidentemente i polinomi di Čebyšëv hanno parità definita: i polinomi di grado pari sono funzioni pari della variabile x, quelli di grado dispari sono funzioni dispari; questo si accorda con l'invarianza dell'equazione differenziale rispetto alla trasformazione che scambia x con −x.

Una possibile definizione di questi polinomi è la seguente:

T_n(\cos(\theta)) := \cos(n\theta) \quad \mbox{per} \quad n = 0, 1, 2, 3, ...

o in forma esplicita

 T_n(x) := \sum_{h=0}^{[n/2]} (-1)^h {n \choose 2h} x^{n-2h} (1-x^2)^h

dove con [n/2] si intende la parte intera di n/2


Che cos(nx) sia un polinomio di grado n in cos(x) può essere visto osservando che cos(nx) è la parte reale di un membro della formula di De Moivre, e la parte reale dell'altro membro è un polinomio in cos(x) e sin(x), dove tutte le potenze del sin(x) sono pari e rimpiazzabili tramite l'identità \,\sin^2(x) = 1 - cos^2(x).

Il polinomio Tn ha esattamente n radici semplici facenti parte dell'intervallo [−1, 1] chiamate nodi di Čebyšëv.

Alternativamente i polinomi di Čebyšëv possono essere definiti tramite la relazione di ricorrenza

T_0(x) := 1
T_1(x) := x
T_{n+1}(x) := 2xT_n(x) - T_{n-1}(x)

Essi costituiscono una successione di polinomi ortogonali rispetto alla funzione peso \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}, sull'intervallo [−1,1], cioè, abbiamo

\int_{-1}^1 T_n(x)T_m(x)\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = 0\quad\mbox{se}\ n\neq m.

Questo succede perché (ponendo x = cos θ)

\int_0^\pi\cos(n\theta)\cos(m\theta)\,d\theta = 0\quad\mbox{se}\ n\neq m.

Come per le altre successioni di polinomi ortogonali, anche i polinomi di Čebyšëv possono essere definiti a partire da funzioni generatrici. Un esempio di una tale funzione generatrice è

\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x) t^n = \frac{1-tx}{1-2tx+t^2}.

I polinomi di Čebyšëv sono ampiamente utilizzati nell'area della approssimazione numerica.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Theodore J. Rivlin (1990): Chebyshev Polynomials. From Approximation Theory to Algebra and Number Theory, 2nd ed., J.Wiley, ISBN 0-471-62896-4

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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