Funzione gamma

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Funzione gamma sui numeri reali

La funzione Gamma, nota anche come funzione gamma di Eulero è una funzione meromorfa, continua sui numeri reali positivi, che estende il concetto di fattoriale ai numeri complessi, nel senso che per ogni numero intero non negativo n si ha

\Gamma(n+1) = n! \,,

dove n! è il fattoriale, cioè il prodotto dei numeri interi da 1 a n: n! = 1 × 2 × 3 × ... × n.

Indice

[modifica] Definizione

Valore assoluto della funzione gamma sul piano complesso

La notazione Γ(z) è dovuta a Adrien-Marie Legendre. Se la parte reale del numero complesso z è positiva, allora l'integrale

\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}\,e^{-t}\,dt

converge assolutamente. Comunque, usando la continuazione analitica, si può vedere che la Γ converge anche per z con parte reale non positiva, purché non intera. Usando l'integrazione per parti, si può dimostrare che: \Gamma(z+1)=z\Gamma(z)\,.

Siccome Γ(1) = 1, questa relazione implica, per tutti i numeri naturali n, che

\Gamma(n+1)=n!\,

In statistica si incontra di frequente (p.es. nella variabile casuale normale) l'integrale

\int_{-\infty} ^{+\infty} e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}

che si ottiene ponendo \frac{x^2}{2}=t, e quindi x=\sqrt{2t}, ottenendo quindi dx=\sqrt{2} \frac{1}{2\sqrt{t}} dt

\int_{-\infty} ^{+\infty} e^{-\frac{x^2}{2}}dx=2\int_{0} ^{+\infty} e^{-\frac{x^2}{2}}dx=2\int_{0} ^{+\infty} \frac{\sqrt{2}}{2} t^{-\frac{1}{2}}e^{-t}dt=\sqrt{2} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{2\pi}

[modifica] Definizione alternativa

Le seguenti definizioni alternative per la funzione Gamma, dovute rispettivamente a Gauss e Weierstrass, sono valide su tutto il piano complesso (ad eccezione dei poli)

\Gamma(z) = \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1)\cdots(z+n)}
\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}

dove γ è la costante di Eulero-Mascheroni.

[modifica] Proprietà

Altre importanti proprietà della funzione Gamma sono la formula di riflessione di Eulero

\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \mathrm{sen} \, (\pi z)}

e quella di duplicazione

\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z).

che a sua volta è un caso particolare della formula di moltiplicazione

\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = (2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz).

Le sue derivate possono essere espresse in funzione di sè stessa e di altre funzioni, per esempio

\Gamma'(z)=\Gamma(z) \, \psi_0(z).\,

dove ψ0 è la funzione poligamma di ordine zero.

[modifica] Residui polari

La funzione Gamma ha un polo di primo ordine in z=−n per ogni numero naturale n; qui il residuo è dato da

\operatorname{Res}(\Gamma,-n)=\frac{(-1)^n}{n!}.

[modifica] Valori notevoli

Probabilmente, il più noto valore che la funzione Gamma assume su numeri non interi è

\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi},

che si può trovare ponendo z=1/2 nella formula di riflessione, oppure osservando il valore che la funzione Beta assume in (1/2, 1/2) che è proprio la radice di π.

Oltre a questo e al già citato valore assunto sui numeri naturali, sono interessanti anche le seguenti proprietà, che interessano i multipli dispari di 1/2

\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)= \frac{(n-2)!!}{2^{(n-1)/2}}\, \sqrt{\pi} = {\frac{n}{2}-1\choose \frac{n-1}{2}} \frac{n-1}{2}! \, \sqrt{\pi}
\Gamma\left(-\frac{n}{2}\right)= \frac{\sqrt{\pi}}{{-\frac{1}{2} \choose \frac{n+1}{2}}\frac{n+1}{2}!}

dove n!! denota il semifattoriale e la parentesi tonda a due livelli il coefficiente binomiale.

[modifica] Teoremi

Il teorema di Bohr-Mollerup afferma che tra tutte le funzioni che estendono la funzione fattoriale, solo gamma è tale che il suo logaritmo è una funzione convessa.

[modifica] Voci correlate

[modifica] Bibliografia

[modifica] Altri progetti

[modifica] Collegamenti esterni

[1] Alcune proprietà della funzione mostrate per esteso Gamma Function nella Digital Library of Mathematical Functions

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