Polinomio di Bernoulli

In matematica, i polinomi di Bernoulli si incontrano nello studio di molte funzioni speciali e in particolare della funzione zeta di Riemann e della funzione zeta di Hurwitz. Questo in gran parte è dovuto al fatto che essi costituiscono la sequenza di Sheffer relativa all'ordinario operatore di derivazione. Contrariamente alle successioni di polinomi ortogonali, la successione dei polinomi di Bernoulli è caratterizzata dal fatto che il numero delle intersezioni con l'asse delle x nell'intervallo unitario non cresce illimitatamente al crescere del grado dei polinomi. Al crescere del grado i polinomi di Bernoulli, sottoposti ad appropriate omotetie, approssimano le funzioni seno e coseno.

Funzioni generatrici

La funzione generatrice dei polinomi di Bernoulli è

$\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}$ .

La funzione generatrice dei polinomi di Eulero è invece

$\frac{2 e^{xt}}{e^t+1}= \sum_{n=0}^\infty E_n(x) \frac{t^n}{n!}.$

Caratterizzazione mediante un operatore differenziale

I polinomi di Bernoulli si possono anche definire come

$B_n(x) := {D \over e^D -1} x^n$

dove D := d/dx denota la differenziazione rispetto alla x e la frazione va sviluppata come serie formale di potenze.

Formula esplicita

Una formula esplicita per i polinomi di Bernoulli è la seguente

$B_m(x) = \sum_{n=0}^m \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} (x+k)^m$ .

Si osserva la rilevante somiglianza con l'espressione mediante la serie globalmente convergente per la funzione zeta di Hurwitz. In effetti si ha

$B_n(x) = -n \zeta(1-n,x)$

dove $\zeta(s,q)$ denota la zeta di Hurwitz; in un certo senso, la zeta di Hurwitz estende i polinomi di Bernoulli ai valori non interi della n.

Una formula esplicita per i polinomi di Eulero è data da

$E_m(x) = \sum_{n=0}^m \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} (x+k)^m$ .

I numeri di Bernoulli e i numeri di Eulero

I numeri di Bernoulli sono dati da $\, B_n = B_n(0)$ .

A loro volta i numeri di Eulero sono dati da $\, E_n = 2^nE_n(1/2)$ .

Espressioni esplicite per i polinomi dei gradi minori

I primi componenti della successione dei polinomi di Bernoulli sono:

$B_0(x)=1$

$B_1(x)=x-1/2$

$B_2(x)=x^2-x+1/6$

$B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x$

$B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30}$

$B_5(x)=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{6}x$

$B_6(x)=x^6-3x^5+\frac{5}{2}x^4-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{42}$ .

I polinomi di Eulero dei gradi più bassi sono invece

$E_0(x)=1$

$E_1(x)=x-1/2$

$E_2(x)=x^2-x$

$E_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{4}$

$E_4(x)=x^4-2x^3+x$

$E_5(x)=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{2}x^2-\frac{1}{2}$

$E_6(x)=x^6-3x^5+5x^3-3x.$

Differenze

I polinomi di Bernoulli e quelli di Eulero ubbidiscono molte relazioni fornite dal calcolo umbrale:

$B_n(x+1)-B_n(x)=nx^{n-1}$

$E_n(x+1)+E_n(x)=2x^n$ .

Derivate

Ciascuna delle due successioni di polinomi è una sequenza polinomiale e più precisamente una sequenza di Appel:

$B_n'(x)=nB_{n-1}(x)$

$E_n'(x)=nE_{n-1}(x)$ .

Traslazioni

$B_n(x+y)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} B_k(x) y^{n-k}$

$E_n(x+y)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} E_k(x) y^{n-k}$

Queste identità sono equivalenti ad affermare che ciascuna di queste sequenze polinomiali è una sequenza di Appel. (Un altro esempio di queste sequenze è fornito dai polinomi di Hermite.)

Simmetrie

$B_n(1-x)=(-)^n B_n(x)$

$E_n(1-x)=(-)^n E_n(x)$

$(-)^n B_n(-x) = B_n(x) + nx^{n-1}$

$(-)^n E_n(-x) = -E_n(x) + 2x^n$ .

Serie di Fourier

La serie di Fourier dei polinomi di Bernoulli è anche una serie di Dirichlet e un caso speciale di funzione zeta di Hurwitz

$B_n(x) = -\Gamma(n+1) \sum_{k=1}^\infty \frac{ \exp (2\pi ikx) + \exp (2\pi ik(1-x)) } { (2\pi ik)^n }.$

Inversione

Può essere utile esprimere le potenze della variabile come combinazioni lineari dei polinomi di Bernoulli. Specificamente si ha

$x^n = \frac {1}{n+1} \sum_{k=0}^n {n+1 \choose k} B_k (x)$ .

Queste uguaglianze e le espressioni esplicite dei polinomi di Bernoulli vanno viste come le identità di collegamento tra le due basi dello spazio vettoriale dei polinomi fornite dalle potenze della variabile e dai polinomi di Bernoulli.

Collegamento con i fattoriali decrescenti

Un'altra coppia di successioni di identità di collegamento fra basi dello spazio vettoriale dei polinomi riguarda i polinomi di Bernoulli e i fattoriali decrescenti. I polinomi di Bernoulli sono espressi come combinazioni lineari di fattoriali decrescenti $(x)_k$ dalle

$B_{n+1}(x) = B_{n+1} + \sum_{k=0}^n \frac{n+1}{k+1} \left\{ \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\} (x)_{k+1}$

dove $\,B_n:=B_n(0)$ e

$\left\{ \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\} = S(n,k)$

denota il numero di Stirling di seconda specie. Viceversa i fattoriali decrescenti sono espressi come combinazioni lineari di polinomi di Bernoulli:

$(x)_{n+1} = \sum_{k=0}^n \frac{n+1}{k+1} \left[ \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right] \left(B_{k+1}(x) - B_{k+1} \right)$

dove

$\left[ \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right] = s(n,k)$

denota il numero di Stirling di prima specie.

Teoremi di moltiplicazione

Questi teoremi di moltiplicazione sono stati dati da Joseph Ludwig Raabe nel 1851:

$B_n(mx)= m^{n-1} \sum_{k=0}^{m-1} B_n \left(x+\frac{k}{m}\right)$

$E_n(mx)= m^n \sum_{k=0}^{m-1} (-1)^k E_n \left(x+\frac{k}{m}\right) \quad \mbox{ for } m=1,3,...$

$E_n(mx)= \frac{-2}{n+1} m^n \sum_{k=0}^{m-1} (-1)^k B_{n+1} \left(x+\frac{k}{m}\right) \quad \mbox{ for } m=2,4,...$

Integrali

Integrali indefiniti

$\int_a^x dt\; B_n(t) = \frac{B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}$

$\int_a^x dt\; E_n(t) = \frac{E_{n+1}(x)-E_{n+1}(a)}{n+1}$

Integrali definiti

$\int_0^1 dt\; B_n(t) B_m(t) = (-1)^{n-1} \frac{m! n!}{(m+n)!} B_{n+m} \quad \mbox { for } m,n \ge 1$

$\int_0^1 dt\; E_n(t) E_m(t) = (-1)^{n} 4 (2^{m+n+2}-1)\frac{m! n!}{(m+n+2)!} B_{n+m+2}$

Bibliografia

• Milton Abramowitz, Irene A. Stegun eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (1972) Dover (Vedi Chapter 23)
• Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer, (Chapter 12.11)
• Jesus Guillera, Jonathan Sondow, Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent (2005) (Rassegna della relazione tra funzione zeta di Hurwitz e funzione trascendente di Lerch.)

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