Chiusura algebrica

In matematica, in particolare in algebra, la chiusura algebrica di un campo K è un altro campo, contenente il precedente, ottenuto "aggiungendo" tutte le radici di tutti i polinomi a coefficienti in K.

Più precisamente, è la più piccola estensione algebrica di K che è algebricamente chiusa.

Ogni campo ha una chiusura algebrica, e questa è unica a meno di isomorfismi: per questo motivo si parla della chiusura algebrica di K, invece che di una chiusura algebrica di K.

Esempi

• Il teorema fondamentale dell'algebra afferma che la chiusura algebrica del campo dei numeri reali è il campo dei numeri complessi.

• La chiusura algebrica del campo dei numeri razionali è il campo dei numeri algebrici.

• Esistono molti campi algebricamente chiusi all'interno dei numeri complessi, contenenti strettamente il campo dei numeri algebrici. Tra questi, vi sono le chiusure algebriche delle estensioni trascendenti dei numeri razionali, ad esempio la chiusura algebrica di Q(π).

• Per un campo finito di caratteristica prima p, la chiusura algebrica è un campo di cardinalità numerabile, che contiene una copia del campo di ordine pⁿ per ogni intero positivo n (ed è di fatto l'unione di queste copie).

Esistenza ed unicità

Usando il lemma di Zorn, può essere mostrato che ogni campo ha una chiusura algebrica, e che la chiusura algebrica di un campo K è unica a meno di isomorfismi che fissano ogni elemento di K.

Proprietà

• La chiusura algebrica di un campo K può essere vista come la più grande estensione algebrica di K. Infatti, se L è un'estensione algebrica di K, allora la chiusura algebrica di L è anche la chiusura algebrica di K, e quindi L è contenuta nella chiusura algebrica di K.

• La chiusura algebrica di K è anche il più piccolo campo algebricamente chiuso contenente K, perché se M è un campo algebricamente chiuso contenente K, allora gli elementi di M algebrici su K formano una chiusura algebrica di K.

Cardinalità

La chiusura algebrica di un campo K ha la stessa cardinalità di K se K è infinito, ed è numerabile se K è finito.

Voci correlate

• Estensione algebrica
• Campo finito
• Campo di spezzamento

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