Chiusura algebrica

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In matematica, in particolare in algebra, la chiusura algebrica di un campo K è la più piccola estensione algebrica di K che è algebricamente chiusa; in termini meno rigorosi, la chiusura algebrica di K è quel campo che si ottiene "aggiungendo" a K le radici di tutti i polinomi a coefficienti in K.

Ogni campo ha una chiusura algebrica, e questa è unica a meno di isomorfismi: questo permette di parlare della chiusura algebrica di K, invece che di una chiusura algebrica di K.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • Esistono molti campi algebricamente chiusi all'interno dei numeri complessi e contenenti strettamente il campo dei numeri algebrici. Tra questi, vi sono le chiusure algebriche delle estensioni trascendenti dei numeri razionali, ad esempio la chiusura algebrica di \mathbb{Q}(\pi).

Esistenza ed unicità[modifica | modifica wikitesto]

Usando il lemma di Zorn, può essere mostrato che ogni campo ha una chiusura algebrica, e che la chiusura algebrica di un campo K è unica a meno di isomorfismi che fissano ogni elemento di K. Tuttavia, non esiste un isomorfismo "canonico" tra due chiusure algebriche: ad esempio, date due chiusure F_1,F_2 del campo \mathbb{F}_p con p elementi, esistono un numero infinito (e non numerabile) di isomorfismi di F_1 in F_2.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

La chiusura algebrica \overline{K} di K può essere vista come la più grande estensione algebrica di K, nel senso che ogni altra estensione algebrica L di K può essere immersa dentro \overline{K} (generalmente in modo non unico); ne segue anche che \overline{K} è anche la chiusura algebrica di L.

La chiusura algebrica di un campo K ha la stessa cardinalità di K se K è infinito, ed è numerabile se K è finito.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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