Chiusura algebrica

In matematica, in particolare in algebra, la chiusura algebrica di un campo $K$ è la più piccola estensione algebrica di $K$ che è algebricamente chiusa; in termini meno rigorosi, la chiusura algebrica di $K$ è quel campo che si ottiene "aggiungendo" a $K$ le radici di tutti i polinomi a coefficienti in $K$.

Ogni campo ha una chiusura algebrica, e questa è unica a meno di isomorfismi: questo permette di parlare della chiusura algebrica di $K$, invece che di una chiusura algebrica di $K$.

Esempi

• Il teorema fondamentale dell'algebra afferma che il campo $\mathbb{C}$ dei numeri complessi è algebricamente chiuso, e di conseguenza è la chiusura algebrica del campo dei numeri reali. Tuttavia, $\mathbb{C}$ non è la chiusura algebrica del campo $\mathbb{Q}$ dei numeri razionali, in quanto contiene elementi (i numeri trascendenti) che non sono algebrici su $\mathbb{Q}$. La chiusura algebrica dei razionali è, invece, il campo dei numeri algebrici.

• Esistono molti campi algebricamente chiusi all'interno dei numeri complessi e contenenti strettamente il campo dei numeri algebrici. Tra questi, vi sono le chiusure algebriche delle estensioni trascendenti dei numeri razionali, ad esempio la chiusura algebrica di $\mathbb{Q}(\pi)$.

• Per un campo finito di caratteristica prima p, la chiusura algebrica è un campo di cardinalità numerabile, che contiene una copia del campo di ordine $p^n$ per ogni intero positivo n (ed è di fatto l'unione di queste copie).

Esistenza ed unicità

Usando il lemma di Zorn, può essere mostrato che ogni campo ha una chiusura algebrica, e che la chiusura algebrica di un campo $K$ è unica a meno di isomorfismi che fissano ogni elemento di $K$. Tuttavia, non esiste un isomorfismo "canonico" tra due chiusure algebriche: ad esempio, date due chiusure $F_1,F_2$ del campo $\mathbb{F}_p$ con p elementi, esistono un numero infinito (e non numerabile) di isomorfismi di $F_1$ in $F_2$.

Proprietà

La chiusura algebrica $\overline{K}$ di $K$ può essere vista come la più grande estensione algebrica di $K$, nel senso che ogni altra estensione algebrica $L$ di $K$ può essere immersa dentro $\overline{K}$ (generalmente in modo non unico); ne segue anche che $\overline{K}$ è anche la chiusura algebrica di $L$.

La chiusura algebrica di un campo $K$ ha la stessa cardinalità di $K$ se $K$ è infinito, ed è numerabile se $K$ è finito.

Bibliografia

• Stefania Gabelli, Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois, Milano, Springer, 2008. ISBN 9788847006188
• James S. Milne, Fields and Galois Theory, v.4.30, 2012. URL consultato il 6 dicembre 2012.

Voci correlate

• Estensione algebrica
• Campo finito
• Campo di spezzamento

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