Formula di inversione di Möbius

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In matematica, e in particolare in teoria dei numeri, la formula di inversione di Möbius è una formula che lega due funzioni aritmetiche, l'una delle quali è somma dei divisori dell'altra, attraverso la funzione di Möbius. Fu introdotta da August Ferdinand Möbius nel XIX secolo.

Afferma che date due funzioni aritmetiche f e g, l'uguaglianza

f(n)=\sum_{d|n} g\left(d\right)

vale se e solo se si ha

g(n)=\sum_{d|n} \mu(d)f\left(\frac{n}{d}\right)

dove la somma è estesa a tutti i divisori di n e \mu è la funzione di Möbius.

La formula di inversione di Möbius può essere generalizzata a funzioni di variabile complessa.

Convoluzione e formula di inversione[modifica | modifica wikitesto]

La formula può essere riscritta attraverso l'operazione di convoluzione di Dirichlet *: se g e f sono funzioni aritmetiche allora:

f=g*N_0

se e solo se:

g=f*\mu

dove N_0(n)=1 per ogni n.

Questo punto di vista offre una semplice via per arrivare alla dimostrazione: basta infatti dimostrare che \mu e N0 sono l'una l'inversa dell'altra secondo l'operazione di convoluzione, cioè che

\left(\mu*N_0\right)\left(n\right)=\sum_{d|n}\mu\left(d\right)=\left\{\begin{matrix}1 \ \mbox{se}\ n \ \mbox{=}\ 1 \\ 0 \ \mbox{altrimenti} \end{matrix}\right.

La prima uguaglianza è semplicemente la definizione di convoluzione; la seconda si ricava facilmente dal fatto che alla sommatoria contribuiscono solo i divisori di n privi di quadrati: se n ha m fattori primi distinti il contributo alla sommatoria da parte dei divisori di n privi di quadrati con j fattori primi distinti è {m \choose j}\left(-1\right)^{j}, e quindi:

\left(\mu*N_0\right)\left(n\right)=\sum_{d|n}\mu\left(d\right)=\sum_{j=0}^{m}{m \choose j}\left(-1\right)^{j}=\left(1-1\right)^m=0~~~~\forall~n>1

A questo punto è sufficiente osservare che se f=g*N_0, allora usando la convoluzione per la funzione di Mobius ad entrambi i membri si ha

f*\mu=g*N_0*\mu=g*(N_0*\mu)=g

che è la tesi. Nell'ultimo passaggio si sfrutta il fatto che la funzione che vale 1 per n=1 e 0 per n>1, convoluta con ogni funzione f, dà la stessa f.

Seconda formula di inversione di Mobius[modifica | modifica wikitesto]

Sia h una funzione aritmetica moltiplicativa; allora:

f\left(x\right)=\sum_{n \leq x}h\left(n\right)g\left(\frac{x}{n}\right)

se e solo se:

g\left(x\right)=\sum_{n \leq x}h^{-1}\left(n\right)f\left(\frac{x}{n}\right)

dove h^{-1}\left(n\right) è l'inversa di h\left(n\right).

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica