Gruppo di Galois

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In matematica, e più precisamente in algebra, un gruppo di Galois è un gruppo associato a un'estensione di campi. In particolare, vengono principalmente studiati i gruppi associati ad estensioni che sono di Galois.

La teoria di Galois si occupa dello studio delle estensioni di Galois tramite l'analisi dei rispettivi gruppi di Galois, come, ad esempio, i gruppi di Galois associati alle estensioni date da campi di spezzamento di polinomi separabili.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Estensione[modifica | modifica wikitesto]

Sia E una estensione di un campo F. Un F-automorfismo di E è un automorfismo

\psi\colon E\to E,

che fissa gli elementi di F, cioè tale che

\psi(x) = x,

per ogni x in F. Gli F-automorfismi di E formano un gruppo

G = \mathrm{Aut}(E/F).

Se E/F è un'Estensione di Galois allora il gruppo degli F-automorfismi di E è detto gruppo di Galois[1] ed è indicato con

G = \mathrm{Gal}(E/F).

Polinomi[modifica | modifica wikitesto]

Se p(x) è un polinomio separabile a coefficienti in un campo F, il gruppo di Galois di p è definito come il gruppo di Galois dell'estensione data dal campo di spezzamento E di p su F.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Negli esempi seguenti \mathbb{C}, \mathbb{R}, \mathbb{Q}, sono rispettivamente i campi formati dai numeri complessi, reali e razionali. La notazione F(a) indica il più piccolo campo contenente F e a.

Campi razionali, reali, complessi[modifica | modifica wikitesto]

  • \mathrm{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R}) ha due elementi, l'identità e la coniugazione complessa.
  • \mathrm{Aut}(\mathbb{R}/\mathbb{Q}) è banale (cioè ha come solo elemento l'identità): si mostra infatti che ogni automorfismo di \mathbb{R} è continuo (segue dal fatto che preserva l'ordine dei numeri reali) e fissa ogni elemento di \mathbb{Q} e di conseguenza è l'automorfismo identico (poiché coincide con l'identità su un insieme denso di \mathbb{R}). Da ciò segue che l'estensione \mathbb{R} su \mathbb{Q} non è di Galois.
  • \mathrm{Gal}((\mathbb{C}/\mathbb{Q}) è un gruppo infinito.

Campi finiti[modifica | modifica wikitesto]

Se F è un campo finito con caratteristica p>0, ovvero di ordine p^n per qualche naturale n, lo si può vedere come estensione di \mathbb{F}_p (lo contiene come sottoanello fondamentale). Si ha che

  • \mathrm{Gal}(F/\mathbb{F}_p)=C_n=<f>

ovvero il gruppo ciclico di ordine n, con f endomorfismo di Frobenius. Infatti si vede che tale endomorfismo nel caso finito è un automorfismo del campo e che fissa ogni elemento di F_p pertanto appartiene al gruppo di Galois dell'estensione. Inoltre l'ordine di tale gruppo è uguale al grado dell'estensione, cioè n (si veda la costruzione dei campi finiti) e l'ordine nel gruppo dell'elemento f è esattamente n, pertanto esso è un generatore.

Radici e polinomi[modifica | modifica wikitesto]

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ In alcuni testi, questo gruppo viene detto di Galois anche se la corrispondente estensione di campi non è di Galois.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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