Gruppo di Galois

In matematica, e più precisamente in algebra, un gruppo di Galois è un gruppo associato a un'estensione di campi. In particolare, vengono principalmente studiati i gruppi associati ad estensioni che sono di Galois.

La teoria di Galois si occupa dello studio delle estensioni di Galois tramite l'analisi dei rispettivi gruppi di Galois, come, ad esempio, i gruppi di Galois associati alle estensioni date da campi di spezzamento di polinomi separabili.

Definizione

Estensione

Sia $E$ una estensione di un campo $F$. Un F-automorfismo di $E$ è un automorfismo

$\psi:E\to E$

che fissa gli elementi di $F$, cioè tale che

$\psi(x) = x$

per ogni $x$ in $F$. Gli F-automorfismi di $E$ formano un gruppo

$G = {\rm Gal}(E/F)$

che è detto gruppo di Galois dell'estensione.

Polinomi

Se $p(x)$ è un polinomio separabile a coefficienti in un campo $F$, il gruppo di Galois di $p$ è definito come il gruppo di Galois dell'estensione data dal campo di spezzamento $E$ di $p$ su $F$.

Esempi

Negli esempi seguenti, C, R, Q sono rispettivamente i campi formati dai numeri complessi, reali e razionali. La notazione $F(a)$ indica il più piccolo campo contenente $F$ e $a$.

Campi razionali, reali, complessi

• Gal(C/R) ha due elementi, l'identità e la coniugazione complessa.
• Gal(R/Q) è banale (cioè ha come solo elemento l'identità): si mostra infatti che ogni automorfismo di R è continuo (segue dal fatto che preserva l'ordine dei numeri reali) e fissa ogni elemento di Q e di conseguenza è l'automorfismo identico (poiché coincide con l'identità su un insieme denso di R). Da ciò segue che l'estensione R su Q non è di Galois.
• Gal(C/Q) è un gruppo infinito.

Campi finiti

Se F è un campo finito con caratteristica p>0, ovvero di ordine pⁿ per qualche naturale n, lo si può vedere come estensione di F_p (lo contiene come sottoanello fondamentale). Si ha che

• Gal(F|F_p) = C_n=<f>

ovvero il gruppo ciclico di ordine n, con f endomorfismo di Frobenius. Infatti si vede che tale endomorfismo nel caso finito è un automorfismo del campo e che fissa ogni elemento di F_p pertanto appartiene al gruppo di Galois dell'estensione. Inoltre l'ordine di tale gruppo è uguale al grado dell'estensione, cioè n (si veda la costruzione dei campi finiti) e l'ordine nel gruppo dell'elemento f è esattamente n, pertanto esso è un generatore.

Radici e polinomi

• Gal(Q(√2)/Q) ha due elementi: l'identità e l'automorfismo che scambia √2 con −√2.
• Sia L = Q(³√2, ω), dove ω è una radice terza primitiva dell'unità. Il gruppo Gal(L/Q) è isomorfo al gruppo S₃ delle permutazioni di 3 elementi. Il campo L è il campo di spezzamento del polinomio x³ − 2 su Q.

Voci correlate

• Campo di spezzamento
• Estensione di campi
• Teoria di Galois

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