Campo di numeri

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In matematica un campo di numeri (o campo numerico)  K è un'estensione finita del campo  \mathbb{Q} dei numeri razionali. Questo significa che  K è un campo contenente  \mathbb{Q} ed ha dimensione finita come spazio vettoriale su  \mathbb{Q} .

Lo studio dei campi di numeri e, più in generale, delle estensioni del campo dei numeri razionali, è uno degli argomenti principali della teoria algebrica dei numeri.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Un campo algebrico di numeri o più semplicemente un campo di numeri F è per definizione un sottocampo del campo dei numeri complessi  \mathbb{C} che sia un'estensione di grado finito n del campo dei numeri razionali  \mathbb{Q} .

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • Un primo esempio banale è il campo dei numeri razionali  \mathbb{Q} , che è esso stesso un campo di numeri, essendo un'estensione di grado 1 di  \mathbb{Q} .
  • Un "non" esempio è \mathbb{R}\subset\mathbb{C}, che è un'estensione di \mathbb{Q} ma il suo grado è infinito, per cui non è un campo di numeri. Per vedere che [\mathbb{R}:\mathbb{Q}]=\infty, basta ricordare che \mathbb{R} ha cardinalità del continuo, mentre \mathbb{Q} è numerabile.

Anelli di interi algebrici[modifica | modifica wikitesto]

Sappiamo dalla teoria dei campi che data un'estensione K|F, un elemento k\in K è detto algebrico su F se k è radice di un polinomio monico f(x)\in F[x], e chiamiamo estensioni algebriche le estensioni di campi i cui elementi sono tutti algebrici; in particolare se F=\mathbb{Q} chiamiamo numero algebrico un elemento \alpha\in\mathbb{C} che sia algebrico su \mathbb{Q}, inoltre se \alpha\in\mathbb{C} è radice di un polinomio monico a coefficienti in \mathbb{Z} diremo che \alpha è un intero algebrico.

Ora, dato un campo di numeri K, definiamo \bar{\mathbb{Z}}=\{\alpha\in\mathbb{C}\ | \ \alpha \ \text{radice di} \ f(x)\in\mathbb{Z}[x]\} (si dimostra che \bar{\mathbb{Z}} è un anello), si definisce \mathcal{O}_K=\bar{\mathbb{Z}}\cap K anello degli interi algebrici di K.

In generale dato un campo di numeri K, il rispettivo anello degli interi \mathcal{O}_K non è un UFD (vedi esempio sotto), ma è possibile dimostrare che gode di altre interessanti proprietà, in particolare, che è un dominio di Dedekind, per cui ammette una fattorizzazione unica in termini di ideali primi.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Dato il campo quadratico F=\mathbb{Q}[\sqrt{-5}], si ha \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]\subset\mathcal{O}_F (in realtà si può dimostrare che \mathcal{O}_F=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]), per cui abbiamo

 3\cdot 2=6=(1-\sqrt{-5})(1+\sqrt{-5}),

dunque \mathcal{O}_F non è UFD.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Gerald J. Janusz, Algebraic Number Fields, 2nd, Providence, R.I., American Mathematical Society, 1996 1997, ISBN 978-0-8218-0429-2.
  • (EN) Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000
  • (EN) Richard A. Mollin, Algebraic Number Theory, CRC, 1999
  • (EN) Ram Murty, Problems in Algebraic Number Theory, Second Edition, Springer, 2005
  • (EN) Władysław Narkiewicz, Elementary and analytic theory of algebraic numbers, Springer Monographs in Mathematics, 3ª ed., Berlin, Springer-Verlag, 2004, ISBN 978-3-540-21902-6, MR 2078267.
  • (EN) Jürgen Neukirch, Algebraic number theory, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 322, Berlin, New York, Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-3-540-65399-8, MR 1697859, Zbl 0956.11021.
  • (EN) Jürgen Neukirch, Alexander Schmidt e Kay Wingberg, Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 323, Berlin, New York, Springer-Verlag, 2000, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196, Zbl 1136.11001.
  • (EN) André Weil, Basic Number Theory, third edition, Springer, 1995

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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