Teorema di Cayley

Il teorema di Cayley, dal nome del matematico britannico Arthur Cayley, è un teorema riguardante la teoria dei gruppi. Il teorema asserisce che ogni gruppo è isomorfo ad un sottogruppo di un gruppo simmetrico. In altre parole, ogni gruppo può essere considerato come un particolare gruppo di permutazioni.

Enunciato

Sia $G$ un gruppo di cardinalità arbitraria. Sia $S(G)$ il gruppo simmetrico di $G$, ovvero il gruppo delle permutazioni dell'insieme $G$. Il teorema di Cayley asserisce il fatto seguente.

Il gruppo $G$ è isomorfo ad un sottogruppo di $S(G)$.

In particolare, ogni gruppo finito $G$ è isomorfo ad un sottogruppo di un gruppo simmetrico finito.

Il gruppo simmetrico su n oggetti contiene una copia di ogni gruppo di ordine n.

Costruzione dell'isomorfismo

Un isomorfismo può essere costruito tramite l'omomorfismo

$f:G\to S(G) \,\!$

che associa ad ogni elemento $g$ la permutazione

$f(g):h\mapsto gh$

che moltiplica ogni elemento a sinistra per $g$.

Questo omomorfismo risulta essere iniettivo, e quindi $G$ è isomorfo alla sua immagine $f(G)$.

Esempi

La costruzione appena descritta può essere concretamente visualizzata su alcuni gruppi noti. Qui $S_n$ è il gruppo delle permutazioni dell'insieme $\{0,\ldots,n-1\}$ e ogni permutazione è descritta come prodotto di cicli.

• Il gruppo ciclico $\mathbb{Z}_2 = \{0,1\}$ è identificato ad un sottogruppo di $S_2$: l'elemento 0 corrisponde all'identità e l'elemento 1 alla permutazione (01).
• $\mathbb{Z}_3 = \{0,1,2\}$ è identificato ad un sottogruppo di $S_3$: l'elemento 0 corrisponde all'identità, l'elemento 1 alla permutazione (123) e l'elemento 2 alla permutazione (132). L'uguaglianza 1 + 1 = 2 corrisponde a (123)(123)=(132).
• $\mathbb{Z}_4 = \{0,1,2,3\}$ è identificato ad un sottogruppo di $S_4$: gli elementi corrispondono ad $e$, (1234), (13)(24), (1432).

Bibliografia

• I.N. Herstein, Algebra, Editori Riuniti, 2003. ISBN 8835954797

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