Teorema di Cayley

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Il teorema di Cayley, dal nome del matematico britannico Arthur Cayley, è un teorema riguardante la teoria dei gruppi. Il teorema asserisce che ogni gruppo è isomorfo ad un sottogruppo di un gruppo simmetrico. In altre parole, ogni gruppo può essere considerato come un particolare gruppo di permutazioni.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Sia G un gruppo di cardinalità arbitraria. Sia S(G) il gruppo simmetrico di G, ovvero il gruppo delle permutazioni dell'insieme G. Il teorema di Cayley asserisce il fatto seguente.

Il gruppo G è isomorfo ad un sottogruppo di S(G).

In particolare, ogni gruppo finito G è isomorfo ad un sottogruppo di un gruppo simmetrico finito.

Il gruppo simmetrico su n oggetti contiene una copia di ogni gruppo di ordine n.

Costruzione dell'isomorfismo[modifica | modifica wikitesto]

Un isomorfismo può essere costruito come segue.

T_g: G \to G tale che  T_g(x)=gx

cioè si moltiplica a sinistra per l'elemento g di G. L'applicazione T_g è una permutazione sugli elementi di G e dunque risulta in S(G). Per concludere basta definire l'applicazione:

T:G \to S(G)

che associa ad ogni elemento g di G la corrispondente permutazione T_g.

Questo omomorfismo risulta essere iniettivo, e quindi G è isomorfo alla sua immagine T(G).

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

La costruzione appena descritta può essere concretamente visualizzata su alcuni gruppi noti. Qui S_n è il gruppo delle permutazioni dell'insieme \{0,\ldots,n-1\} e ogni permutazione è descritta come prodotto di cicli.

  • Il gruppo ciclico \mathbb{Z}_2 = \{0,1\} è identificato ad un sottogruppo di S_2: l'elemento 0 corrisponde all'identità e l'elemento 1 alla permutazione (01).
  • \mathbb{Z}_3 = \{0,1,2\} è identificato ad un sottogruppo di S_3: l'elemento 0 corrisponde all'identità, l'elemento 1 alla permutazione (123) e l'elemento 2 alla permutazione (132). L'uguaglianza 1 + 1 = 2 corrisponde a (123)(123)=(132).
  • \mathbb{Z}_4 = \{0,1,2,3\} è identificato ad un sottogruppo di S_4: gli elementi corrispondono ad e, (1234), (13)(24), (1432).

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema trova numerose applicazioni sia dal punto di vista pratico che teorico. Nella teoria dei grafi permette ad esempio di derivare numerose proprietà strutturali di grafi ed alberi.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica