Identità di Bézout

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In matematica, e specialmente in teoria dei numeri, l' identità di Bézout (o lemma di Bézout o identità di Bachet-Bézout) afferma che se a e b sono interi (non entrambi nulli) e il loro massimo comune divisore è d, allora esistono due interi x e y tali che

ax+by=d.

Tali coppie di numeri (x,y) possono essere determinate con l'algoritmo di Euclide esteso, ma non sono univocamente determinate.

Per esempio, il massimo comune divisore di 12 e 42 è 6, e possiamo scrivere

(-3)\cdot 12 + 1\cdot 42=6,

ma anche

4\cdot 12+(-1)\cdot 42=6.

In effetti a partire da una soluzione (x_0,y_0) si dimostra, attraverso il lemma di Euclide, che l'insieme delle soluzioni è costituito da elementi del tipo

a \cdot \left(x_0 - k \cdot \frac{b}{d}\right) + b \cdot \left(y_0 + k \cdot \frac{a}{d}\right) = d \quad \text{ per } \quad k\in\Z.

L'identità di Bézout è valida non solo nell'anello degli interi, ma più in generale in qualunque altro anello ad ideali principali. Detto esplicitamente, se R è un dominio ad ideali principali, a e b sono elementi di R, e d è un massimo comune divisore di a e b, allora esistono elementi x e y in R tali che ax+by=d.

L'identità di Bézout è così chiamata in onore del matematico francese Étienne Bézout (1730-1783); ad essa viene anche associato il nome del matematico della Savoia Claude-Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638), autore della più famosa traduzione in latino dell'Aritmetica di Diofanto.

Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

Più numeri[modifica | modifica wikitesto]

Questa stessa proprietà vale per una quantità arbitraria di numeri: dati n numeri (a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n), se d è il loro massimo comun divisore esiste una n-upla (x_1,x_2,\ldots,x_n) tale che

a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=d.

Polinomi[modifica | modifica wikitesto]

L'identità di Bézout esiste anche per i polinomi a coefficienti in un campo: infatti, se K è un campo, l'anello K[x] è un anello euclideo, e quindi anche un anello ad ideali principali. Ad esempio questa proprietà vale in \Q[x] e in \R[x].

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]


Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]


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