Identità di Bézout
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In matematica, e specialmente in teoria dei numeri, l'identità di Bézout (o lemma di Bézout) afferma che se a e b sono interi (non entrambi nulli) e d è il loro massimo comune divisore, allora esistono due interi x e y tali che
- ax + by = d .
Tali coppie di numeri (x, y) possono essere determinate con l'algoritmo di Euclide esteso, ma non sono univocamente determinate.
Per esempio, il massimo comune divisore di 12 e 42 è 6, e possiamo scrivere
- (−3)·12 + 1·42 = 6 ,
ma anche
- 4·12 + (−1)·42 = 6 .
In effetti a partire da una coppia soluzione 
si ottiene l'insieme numerabile di soluzioni
.
L'identità di Bézout è valida non solo nell'anello degli interi, ma più in generale in qualunque altro anello ad ideali principali. Detto esplicitamente, se R è un dominio ad ideali principali, a e b sono elementi di R, e d è un massimo comune divisore di a e b, allora esistono elementi x e y in R tali che ax + by = d.
L'identità di Bézout è così chiamata in onore del matematico francese del diciottesimo secolo Étienne Bézout (1730-1783).
Da confermare: in alcuni libri credibili, questa identità è stata attribuita al matematico francese Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638).
Indice |
[modifica] Generalizzazioni
[modifica] Più numeri
Questa stessa proprietà vale per una quantità arbitraria di numeri: dati n numeri 
, se d è il loro massimo comun divisore esiste una n-upla 
tale che
[modifica] Polinomi
L'identità di Bézout esiste anche per i polinomi a coefficienti in un campo: infatti, se K è un campo, l'anello K[x] è un anello euclideo, e quindi anche un anello ad ideali principali. Ad esempio questa proprietà vale in ![\mathbb{Q}[x]](http://upload.wikimedia.org/math/2/e/6/2e6941566cf570df9666c0d4d6480645.png)
e in ![\mathbb{R}[x]](http://upload.wikimedia.org/math/b/e/b/beb0d99aaccc8e8ab19964a909b6e289.png)
.
[modifica] Collegamenti esterni
- Calcolatrice online per l'identità di Bézout.
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