Numero di Eulero (teoria dei numeri)

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In matematica, ed in particolare in teoria dei numeri e in combinatoria, i numeri di Eulero En sono i componenti di una successione di interi che possono essere definiti dal seguente sviluppo in serie di Maclaurin della funzione secante iperbolica:

\mathrm{sech}(t) = \frac{1}{\cosh t} = 
\frac{2}{\exp (t) + \exp (-t) } = 
\sum_{n=0}^{\infin}  \frac{E_n}{n!} \cdot t^n

dove con cosh t si denota la funzione coseno iperbolico.

I numeri di Eulero di indice dispari sono tutti nulli. Quelli di indice pari[1] hanno segno alternato. Alcuni valori sono:

E0 = 1
E2 = −1
E4 = 5
E6 = −61
E8 = 1 385
E10 = −50 521
E12 = 2 702 765
E14 = −199 360 981
E16 = 19 391 512 145
E18 = −2 404 879 675 441

Alcuni autori re-indicizzano la successione per escludere i termini dispari (tutti nulli), e/o cambiano i segni per avere tutti i segni positivi. Qui non ci si attiene a tali convenzioni.

I numeri di Eulero compaiono anche negli sviluppi in serie di Maclaurin della secante. Essi inoltre forniscono valori speciali dei polinomi di Eulero e sono collegati ai numeri delle permutazioni alternate.

Va ricordato che al nome di Eulero sono associate varie altre entità numeriche:

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ (EN) Sequenza A000364 in On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.

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