Ipotesi di Riemann

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L'ipotesi o congettura di Riemann è una congettura sulla distribuzione degli zeri nella funzione zeta di Riemann ζ(s).

Essa fu formulata la prima volta dal matematico di Gottinga Bernhard Riemann nel 1859. La sua dimostrazione risulta tuttora uno dei principali problemi aperti della matematica e figura nella lista dei sette Millennium Problems, per la soluzione di ciascuno dei quali il Clay Mathematics Institute ha offerto un premio da un milione di dollari. Sebbene la maggior parte dei matematici ritenga l'ipotesi di Riemann vera, vi sono alcune eccezioni, come quelle notevoli di J. E. Littlewood e Atle Selberg.

Dall'equazione funzionale discende che la funzione zeta di Riemann ζ(s) ha zeri, detti "banali", nei punti s = -2, s = -4, s = -6, ... La congettura di Riemann riguarda invece gli zeri non banali e dice che:

La parte reale di ogni radice non banale è 1/2

In altre parole, le radici non banali dovrebbero trovarsi tutte sulla linea critica, e sarebbero della forma s = 1/2 + it con t numero reale e i unità immaginaria.

Modulo della funzione Z sul piano complesso

La congettura, espressa in questo modo, potrebbe sembrare limitata alla conoscenza di questa funzione; ha invece una correlazione sottile ed importante con la teoria dei numeri primi. Eulero scoprì infatti che, effettuando la produttoria con p che spazia su tutti i numeri primi, la funzione zeta può anche essere scritta come:

\zeta(s) = \prod_{j=1}^\infty \frac{1}{1 - p_j^{-s}}

ove {pj} è l'insieme di tutti i numeri primi.

L'andamento della funzione zeta (ed in particolare la distribuzione dei suoi zeri) risulta quindi (attraverso altri passaggi che non riportiamo) legato alla distribuzione dei numeri primi immersi nell'insieme dei numeri naturali.

Parte reale e immaginaria dei valori assunti dalla funzione zeta lungo la linea critica Re(x)=1/2. Si possono notare i primi zeri non banali in Im(x) = ±14.135, ±21.022 e ±25.011.
I valori assoluti della funzione ζ

È improbabile che Riemann abbia risolto la congettura che porta il suo nome, non avendo lui pubblicato mai una dimostrazione. È possibile che avesse comunque ideato linee di attacco diverse da quelle studiate in seguito, ma purtroppo parte delle sue carte furono distrutte dopo la sua morte da una troppo zelante domestica; non possiamo quindi sapere per certo se egli avesse solo impostato o risolto il problema.

Stabilire una regola matematica che dimostri se esiste o no una logica nell'assenza di una cadenza nella distribuzione dei numeri primi, significherebbe comprendere se vi è una "aritmia" totale in quest'ultima o meno; questo potrebbe avere importanti ricadute sulle applicazioni informatiche odierne e future, poiché la crittografia utilizza sovente come chiavi numeri interi la cui fattorizzazione in numeri primi (molto grandi) non deve essere calcolabile in tempi accettabili.

L'eventuale conoscenza della distribuzione di tale sequenza permetterebbe quindi di facilitare la fattorizzazione di cui sopra: si renderebbe perciò necessario trovare altre tecniche di sicurezza telematica, quali ad esempio la crittografia con le funzioni ellittiche modulari, che però sono anch'esse soggette ad una congettura pendente, o la crittografia quantistica, che per il momento sembra inattaccabile e la cui prima versione Qnet è già disponibile.

Nel giugno 2004, Louis de Branges de Bourcia, della Purdue University, lo stesso che ha risolto la congettura di Bieberbach, ha affermato di aver dimostrato l'ipotesi di Riemann nell'articolo "Apology for the proof of the Riemann Hypothesis"[1]. Non è la prima volta che il matematico fa un tale annuncio, tuttavia la sua prova è ora al vaglio dei matematici di tutto il mondo. Al momento, non è chiaro se i controesempi forniti da Conrey e Li relativamente alla precedente rivendicazione di Branges de Bourcia[2] siano validi anche per questa.

Nel marzo 2007 Tribikram Pati affermò al contrario di avere dimostrato che la congettura di Riemann è falsa[3], ma la sua dimostrazione è stata dimostrata essere erronea[4].

[modifica] Note

  1. ^ (EN) http://www.math.purdue.edu/ftp_pub/branges/apology.pdf
  2. ^ (EN) http://arxiv.org/abs/math.NT/9812166
  3. ^ (EN) http://arxiv.org/abs/math.NT/0703367
  4. ^ (EN) http://guests.mpim-bonn.mpg.de/kroetz/RH.pdf

[modifica] Bibliografia

Estratto da "http://it.wikipedia.org/wiki/Ipotesi_di_Riemann"
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