Ipotesi di Riemann

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Parte reale e immaginaria dei valori assunti dalla funzione zeta lungo la linea critica Re(x)=1/2. Si possono notare i primi zeri non banali in Im(x) = ±14,135, ±21,022 e ±25,011.

In teoria dei numeri analitica, l'ipotesi di Riemann è una congettura sulla distribuzione degli zeri non banali della funzione zeta di Riemann ζ(s), definita come

\zeta(s):=\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^s}

per un numero complesso s con parte reale maggiore di 1 e prolungabile analiticamente a una funzione meromorfa su tutto il piano complesso.

La congettura fu formulata per la prima volta nel 1859 da Bernhard Riemann, matematico di Gottinga. Considerata il più importante problema aperto della matematica,[1] è uno dei ventitré problemi di Hilbert e uno dei sette Millennium Problems, per la soluzione di ciascuno dei quali il Clay Mathematics Institute ha offerto un premio da un milione di dollari. La sua importanza deriva dalle conseguenze che una sua dimostrazione avrebbe sulla teoria dei numeri primi. Sebbene la maggior parte dei matematici ritenga l'ipotesi di Riemann vera, vi sono alcune eccezioni, come quelle notevoli di J. E. Littlewood e Atle Selberg.

Dall'equazione funzionale discende che la funzione zeta di Riemann ζ(s) ha zeri, detti banali, negli interi pari negativi, s = −2, s = −4, s = −6, ... La congettura di Riemann riguarda invece gli zeri non banali e afferma che

« La parte reale di ogni radice non banale è 1/2 »

In altre parole, le radici non banali dovrebbero trovarsi tutte sulla retta descritta dall'equazione s = 1/2 + it (indicata come critical line in Fig. 3) con t numero reale e i unità immaginaria.

Rapporti con la teoria dei numeri primi[modifica | modifica sorgente]

Il primo legame tra la funzione zeta e i numeri primi era già stato scoperto da Eulero, che notò che per ogni numero reale maggiore di 1, vale la formula prodotto di Eulero,

\zeta(x) = \prod_{p\text{ primo}}^\infty \frac{1}{1 - p^{-x}},

dove, nella produttoria, p spazia tra tutti i numeri primi.

L'andamento della funzione zeta (e in particolare la distribuzione dei suoi zeri) risulta quindi legato (attraverso altri passaggi che si omettono) alla distribuzione dei numeri primi immersi nell'insieme dei numeri naturali.

Modulo della funzione Z sul piano complesso
Fig. 3: I valori assoluti della funzione ζ, indicati con tonalità più chiara al crescere del valore. Si distinguono due zeri non banali (più scuri) che obbediscono alla congettura, ubicati sulla "retta critica" verticale. Gli zeri banali giacciono invece sull'asse negativo delle x

È improbabile che Riemann avesse risolto la congettura che porta il suo nome, non avendo lui mai pubblicato una dimostrazione. È possibile però che avesse comunque ideato linee di attacco diverse da quelle studiate in seguito, ma parte delle sue carte fu distrutta dopo la sua morte da una troppo zelante domestica;[2] non possiamo quindi sapere per certo se egli avesse solo impostato o risolto il problema.

Conseguenze[modifica | modifica sorgente]

Stabilire una regola matematica che dimostri l'esistenza o meno di una logica nell'assenza di una cadenza nella distribuzione dei numeri primi, significherebbe comprendere se vi è un'"aritmia" totale in quest'ultima o se essa manchi; questo potrebbe avere importanti ricadute sulle applicazioni informatiche odierne e future, poiché la crittografia utilizza sovente come chiavi numeri interi la cui fattorizzazione in numeri primi (molto grandi) non sia calcolabile in tempi accettabili.

L'eventuale conoscenza della distribuzione di tale sequenza potrebbe permettere quindi di facilitare la fattorizzazione di cui sopra: si renderebbe perciò necessario trovare altre tecniche di sicurezza telematica, quali ad esempio la crittografia con le funzioni ellittiche modulari, che però sono anch'esse soggette a una congettura pendente (la congettura di Birch e Swinnerton-Dyer), o la crittografia quantistica, che per il momento sembra inattaccabile e la cui prima versione Qnet è già disponibile.

Tentativi di dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Nel corso degli anni molti matematici hanno affermato di aver dimostrato l'ipotesi di Riemann. Un caso particolare è costituito da Louis de Branges de Bourcia, matematico già famoso per aver risolto la congettura di Bieberbach. Nel 1992, de Branges propose e pubblicò sul suo sito una dimostrazione basata su argomenti di analisi funzionale, ma i teorici dei numeri rimasero scettici e otto anni dopo Brian Conrey e Xian-Jin Li pubblicarono un articolo in cui fornirono controesempi che implicavano la non correttezza della dimostrazione.[3] Negli anni successivi, de Branges ha modificato spesso la dimostrazione presente sul sito[4], basandosi comunque sullo stesso tipo di idee. Tuttavia, sebbene finora nessuno abbia verificato la correttezza della dimostrazione dopo le modifiche apportate, anche la nuova versione viene comunemente ritenuta sbagliata in quanto gli argomenti utilizzati sono ritenuti inadeguati ad attaccare il problema.

Note[modifica | modifica sorgente]

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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