Formula prodotto di Eulero

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La Formula prodotto di Eulero o più semplicemente il Prodotto di Eulero è una formula dimostrata da Leonhard Euler nel 1737.[1]

\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}

dove \zeta(s) è la funzione zeta di Riemann e il prodotto del secondo membro dell'uguaglianza percorre tutti i numeri primi.

Questa formula è interessante in quanto mette in relazione una serie in cui compaiono tutti i numeri naturali e un prodotto in cui compaiono tutti i numeri primi. È all'origine del collegamento tra funzione zeta di Riemann e numeri primi che si presenta nell'Ipotesi di Riemann.

Dimostrazioni[modifica | modifica sorgente]

Prima Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Partiamo dalla funzione zeta:

\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots

se moltiplichiamo entrambi i termini per \frac{1}{2^s} abbiamo che:

\frac{1}{2^s}\zeta(s) =  \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{6^s} + \frac{1}{8^s} + \cdots

Sottraendo la seconda espressione dalla prima

\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) =  1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{7^s} + \cdots

In questa serie non compaiono denominatori pari.
Moltiplicando per il primo termine (dopo l'uno) rimasto

\frac{1}{3^s}\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) =  \frac{1}{3^s} + \frac{1}{9^s} + \frac{1}{15^s} + \frac{1}{21^s} + \cdots

Sottraendo l'ultima alla penultima espressione, abbiamo che

\left(1-\frac{1}{3^s}\right)\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) =  1 + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{7^s} + \frac{1}{11^s} + \cdots

In questo procedimento abbiamo eliminato, prima tutti i multipli di due poi tutti i multipli del primo numero rimasto cioè tre, se poi lo facciamo di nuovo con cinque vedremo eliminati tutti i multipli di cinque:

\left(1-\frac{1}{5^s}\right)\left(1-\frac{1}{3^s}\right)\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) =  1 + \frac{1}{7^s} + \frac{1}{11^s} + \frac{1}{13^s} + \cdots

Stiamo progressivamente eliminando tutti i multipli di ogni numero rimasto dopo l'uno (e che quindi è un numero primo visto che non è multiplo di nessun altro numero più piccolo). I numeri del prodotto prima dell'uguale quindi saranno tutti primi. Quindi ripetendo infinite volte il procedimento:

\cdots\left(1-\frac{1}{11^s}\right)\left(1-\frac{1}{7^s}\right)\left(1-\frac{1}{5^s}\right)\left(1-\frac{1}{3^s}\right)\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) = 1

E in conclusione:

\zeta(s) =  \frac{1}{\left(1-\frac{1}{2^s}\right)}\frac{1}{\left(1-\frac{1}{3^s}\right)} \frac{1}{\left(1-\frac{1}{5^s}\right)}\frac{1}{\left(1-\frac{1}{7^s}\right)} \cdots = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}

Q.E.D

Seconda Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

si può considerare il termine

\frac{1}{1-p^{-s}}

come il numero a cui converge la serie geometrica

\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(p^s)^n} = 1 + \frac{1}{p^s} + \frac{1}{p^{2s}} + \frac{1}{p^{3s}} +\frac{1}{p^{4s}}+ \cdots = \frac{1}{1-p^{-s}}

Quindi il prodotto di Eulero diviene:

\prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}} = \left(1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{2^{2s}} + \frac{1}{2^{3s}} + \cdots \right) \left(1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{3^{2s}} + \frac{1}{3^{3s}} + \cdots \right) \left(1 + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{5^{2s}} + \frac{1}{5^{3s}} + \cdots\right) \cdots

E svolgendolo

\prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}} = \left(1 + \frac{1}{(1\cdot2)^s} + \frac{1}{(1\cdot3)^s} + \frac{1}{(1\cdot5)^s} + \cdots  \right ) + \left( \frac{1}{(1\cdot{2^2})^s} + \frac{1}{(1\cdot{3^2})^s} + \frac{1}{(1\cdot{5^2})^s} + \cdots  \right ) + \cdots
 + \left( \frac{1}{(2\cdot3)^s} + \frac{1}{(2\cdot5)^s} + \frac{1}{(2\cdot7)^s} + \cdots  \right ) + \left( \frac{1}{({2^2}\cdot{3^2})^s} + \frac{1}{({2^2}\cdot{5^2})^s} + \frac{1}{({2^2}\cdot{7^2})^s} + \cdots  \right ) + \cdots
 + \left( \frac{1}{(3\cdot5)^s} + \frac{1}{(3\cdot7)^s} + \frac{1}{(3\cdot11)^s} + \cdots  \right ) + \left( + \frac{1}{({3^2}\cdot{5^2})^s} + \frac{1}{({3^2}\cdot{7^2})^s} + \frac{1}{({3^2}\cdot{11^2})^s} +  \cdots  \right ) + \cdots

È chiaro che nel termine a destra dell'uguale appariranno prima o poi tutte le possibili combinazioni di numeri primi possibili (e a qualsiasi potenza). Per il teorema fondamentale dell'aritmetica abbiamo che queste combinazioni forniscono tutti i numeri naturali. Possiamo dunque riordinare i termini così:

 \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}} = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots

Quindi:

 \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}

Q.E.D

Infiniti numeri primi[modifica | modifica sorgente]

Tramite questa formula Eulero diede una dimostrazione dell'infinità dei numeri primi. Infatti se si inserisce nella formula il numero 1 si ha:

 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-1}}

E siccome la somma nel primo membro è la serie armonica, che diverge, anche il prodotto deve farlo. Ma ciò è possibile solo se i suoi membri sono infiniti e quindi se esistono infiniti numeri primi.

Generalizzazione[modifica | modifica sorgente]

Attraverso le dimostrazioni si può generalizzare questa formula per ogni funzione moltiplicativa a(x):

\sum_{n} \frac{a(n)}{n^s} \ =\prod_{p} P(p,s)\

Dove P(p,s) è la serie:

1+a(p)p^{-s} + a(p^2)p^{-2s} + \cdots .

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Moltissime funzioni possono essere espresse con il prodotto di Eulero. Queste funzioni danno origine a prodotti molto simili a quello sopra illustrato per la funzione zeta di Riemann. Capita dunque di trovare collegamenti tra queste serie di funzioni e la funzione zeta. Ad esempio:

Il prodotto di Eulero per la funzione di Moebius \mu(n) :

 \sum_{n=1}^{\infty}\mu (n)n^{-s}=\prod_{p} (1-p^{-s})= \frac{1}{\zeta(s) } .

E quello per il suo valore assoluto:

 \sum_{n=1}^{\infty} |\mu(n)|n^{-s}= \prod_{p} (1+p^{-s})= \frac{\zeta(s)}{\zeta(2s) }.

Il prodotto per la funzione di Liouville:

 \sum_{n=1}^{\infty} \lambda(n) n^{-s}= \prod_{p} (1+p^{-s})^{-1}= \frac{\zeta(2s)}{\zeta(s) }.

E altri che utilizzano la funzione zeta come:

 \sum_{n=1}^{\infty}2^{\omega(n)} n^{-s} = \prod_{p} \Big(\frac{1+p^{-s}}{1-p^{-s}}\Big) = \frac{\zeta(s)^2}{\zeta(2s)}

Dove  \omega(n) è il numero di fattori primi distinti di n

E anche

\sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma(s)}{n^s} = \zeta(s)\zeta(s-1)

dove σ(n) è la somma di tutti i divisori di n (1 e n compresi).

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Apostol, op. cit., p. 230

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, New York, Springer-Verlag, 1976, ISBN 0387901639.
  • John Derbyshire, L'ossessione dei numeri primi, Bollati Boringhieri, 2006, ISBN 88-339-1706-1

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]


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