Carl Friedrich Gauss

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(DE)
« Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften »
(IT)
« La matematica è la regina delle scienze »
(Wolfgang Sartorius von Waltershausen, Gauss zum Gedächtnis- 1862)
Ritratto di Carl Friedrich Gauss, ad opera di Christian Albrecht Jensen.

Johann Carl Friedrich Gauss (Pronuncia[?·info]; tedesco: Gauß; latino: Carolus Fridericus Gauss) - (Braunschweig, 30 aprile 1777Gottinga, 23 febbraio 1855) è stato un matematico, astronomo e fisico tedesco, che ha dato contributi determinanti in vari campi, inclusi analisi matematica, teoria dei numeri, statistica, calcolo numerico, geometria differenziale, geodesia, geofisica, magnetismo, elettrostatica, astronomia e ottica.

Firma di Gauss

Talvolta definito "il Principe dei matematici" (Princeps mathematicorum)[1] come Eulero[2] o "il più grande matematico della modernità" (in opposizione ad Archimede, considerato dallo stesso Gauss come il maggiore fra i matematici dell'"antichità"), è annoverato fra i più importanti matematici della storia avendo contribuito in modo decisivo all'evoluzione delle scienze matematiche, fisiche e naturali.[3] Definì la matematica come "la regina delle scienze".[4]

Biografia[modifica | modifica wikitesto]

Infanzia e prime scoperte (1777 - 1798)[modifica | modifica wikitesto]

Statua di Gauss a Brunswick.

Nacque a Braunschweig nel ducato di Brunswick-Lüneburg (ora parte della Bassa Sassonia, in Germania), figlio unico di una famiglia di bassa estrazione sociale e culturale.[5] Venne battezzato e cresimato in una chiesa vicino alla scuola che frequentava da bambino.[6]

Casa natìa di Gauss. Venne distrutta completamente durante la seconda guerra mondiale.

Gauss era un bambino prodigio. Esistono diversi aneddoti riguardo alla sua precocità; per esempio, Gauss, almeno secondo la leggenda, all'età di tre anni avrebbe corretto un errore del padre nel calcolo delle sue finanze.

Un altro aneddoto, forse più verosimile, racconta che a nove anni di età, quando andava a scuola, il suo insegnante, J.G. Büttner, per mettere a tacere i turbolenti allievi, ordinò loro di fare la somma di tutti i numeri da 1 a 100. Poco dopo, il giovanissimo Carl diede per primo la risposta esatta, sorprendendo l'insegnante ed il suo assistente Martin Bartels. Non si è certi di quale metodo abbia adottato Gauss per risolvere il problema; presumibilmente, egli si era accorto che, mettendo in una riga tutti i numeri da 1 a 100 e nella riga sottostante i numeri da 100 a 1, ogni colonna dava come somma 101: Carl fece dunque il prodotto 100x101 e divise per 2, ottenendo facilmente il risultato (vedere somma di una progressione aritmetica). Come già detto, però, i dettagli della storia sono assai incerti (vedere[7] per la discussione della fonte originaria di Wolfgang Sartorius von Waltershausen e i cambiamenti in altre versioni); alcuni autori, come Joseph Rotman nel suo libro A first course in Abstract Algebra, si chiedono se ciò sia realmente accaduto. Altri autori, come Joaquin Navarro, sostengono che in realtà Büttner aveva assegnato un compito ancora più complesso, ovvero la somma dei primi 100 numeri della serie 81298 + 81495 + 81693 ... nella quale ogni termine differisce dal precedente per il valore di 198 e che il giovane Gauss lo risolse in pochi minuti come detto prima.[8]

Il Duca di Brunswick, impressionato dalle sue capacità,[3] finanziò il soggiorno di Gauss al Collegium Carolinum (oggi Technische Universität Braunschweig), che frequentò dal 1792 al 1795, anno in cui passò all'Università di Gottinga, dove studiò fino al 1798. Mentre era all'università, Gauss riscoprì una serie di importanti teoremi. Il suo primo importante risultato fu nel 1796, quando riuscì a dimostrare che un poligono regolare con un numero di lati che è un primo di Fermat è costruibile con riga e compasso (e, conseguentemente, tutti i poligoni con un numero dei lati che è il prodotto di primi di Fermat distinti e una potenza di due). Questa fu una grande scoperta in un importante campo della matematica; la costruzione dei poligoni aveva occupato i matematici fin dall'epoca degli antichi greci, e la scoperta dette modo a Gauss di scegliere di intraprendere la carriera di matematico anziché di filologo. Gauss era così eccitato dal risultato ottenuto che richiese che un eptadecagono venisse inciso sulla sua lapide, ma lo scalpellino rifiutò dicendo che esso non sarebbe stato distinguibile da un cerchio.[9]

Casa di Gauss a Gottinga (1796 - 1798).

Il 1796 fu probabilmente l'anno più produttivo di Gauss. Riuscì a costruire un eptadecagono,[10] inventò l'aritmetica modulare, importantissimo strumento della teoria dei numeri e dette la prima dimostrazione della legge di reciprocità quadratica. Sempre in quell'anno congetturò per primo la validità del teorema dei numeri primi, dando un'idea chiara di come i numeri primi siano distribuiti fra gli interi; scoprì, inoltre, che tutti i numeri naturali sono rappresentabili al più come somma di tre numeri triangolari. Tuttavia Gauss non pubblicò queste due ultime scoperte ma le tenne per sé. Infatti Gauss era affetto da una sorta di mania di perfezionismo, che gli impediva di pubblicare le sue dimostrazioni se non erano assolutamente rigorose. Scriveva invece le sue scoperte nel suo diario in maniera criptica. Per esempio, la scoperta che ogni intero poteva essere rappresentato come somma di al più tre numeri triangolari, venne scritta sul suo diario così: "Eureka! num= \Delta+\Delta+\Delta". Il primo ottobre, pubblicò un risultato sul numero di soluzioni dei polinomi con coefficienti in campi finiti, che alla fine portò alle congetture di Weil 150 anni dopo.

Maturità (1799 - 1830)[modifica | modifica wikitesto]

Nel 1799, nella sua tesi di dottorato Una nuova dimostrazione del teorema per il quale ogni funzione algebrica integrale di una variabile può essere risolta in fattori di primo o secondo grado, Gauss dimostrò il teorema fondamentale dell'algebra. Molti matematici avevano provato a dimostrarlo tra cui Jean le Rond d'Alembert ed Eulero. Prima di lui, altri matematici, incluso Jean Baptiste Le Rond d'Alembert, avevano proposto delle false dimostrazioni del teorema, e Gauss criticò apertamente il lavoro di d'Alembert. Ironicamente, secondo le conoscenze del tempo, la dimostrazione di Gauss non è accettabile, in quanto essa faceva implicitamente utilizzo del teorema della curva di Jordan. Ad ogni modo, Gauss produsse negli anni quattro diverse dimostrazioni, l'ultima, generalmente precisa, nel 1849, chiarendo il concetto di numero complesso strada facendo.

Gauss diede anche un importantissimo contributo alla teoria dei numeri con il suo libro del 1801 Disquisitiones Arithmeticae (Inchieste Aritmetiche in Latino), che, tra le varie cose, introduceva l'utilizzo del simbolo ≡ per la congruenza e lo utilizzava in chiara presentazione dell'aritmetica modulare, conteneva le prime due dimostrazioni della legge di reciprocità quadratica, sviluppava le teorie delle forme quadratiche binarie e ternarie, esponeva il problema del numero di classe per queste ultime, e dimostrava che un eptadecagono (poligono a 17 lati) può essere costruito con riga e compasso.

In quello stesso anno l'astronomo italiano Giuseppe Piazzi scoprì l'asteroide Cerere, ma lo poté seguire solo per alcuni giorni perché scomparve dietro la Luna. Gauss predisse il punto esatto in cui sarebbe riapparso, facendo uso dell'appena scoperto metodo dei minimi quadrati. Cerere riapparve proprio nel punto indicato da Gauss. Questo straordinario successo lo portò a essere conosciuto anche al di fuori dalla cerchia dei matematici. Cerere venne in seguito riscoperto da Franz Xaver von Zach il 31 dicembre 1801 all'Osservatorio di Gotha, e un giorno dopo anche da Heinrich Wilhelm Olbers nella città di Brema.

Il metodo di Gauss consisteva nel determinare una sezione conica nello spazio, dati un fuoco (il sole) e l'intersezione del cono con tre rette date (le linee dello sguardo dalla Terra, che si sta essa stessa muovendo su un'ellisse, al pianeta) e dato il tempo che impiega la Terra per attraversare gli archi formati da queste rette (da cui la lunghezza degli archi può essere calcolata grazie alla seconda legge di Keplero). Questo problema porta ad un'equazione di ottavo grado, di cui una soluzione, l'orbita della Terra, è nota. La soluzione cercata è quindi separata dalle sei rimanenti, basate su condizioni fisiche. In questo lavoro Gauss utilizzò metodi di ampia approssimazione, che egli creò appositamente per quello scopo.[11]

Rendendosi conto che se l'appoggio economico del Duca di Brunswick fosse venuto a mancare egli sarebbe probabilmente caduto in miseria occupandosi di matematica pura, Gauss decise di cercare un incarico in qualche osservatorio astronomico e, nel 1807, divenne Professore di Astronomia e Direttore dell'osservatorio di Gottinga, incarico che mantenne fino alla sua morte. Interessante in questo periodo è la sua corrispondenza con Sophie Germain, matematica che, sotto lo pseudonimo di Antoine-August Le Blanc, scrisse a Gauss 10 lettere, dal 1804 fino al 1808, in cui gli descriveva della scoperta di un particolare tipo di primo (che prenderà poi il nome di primo di Sophie Germain).

La scoperta di Cerere da parte di Piazzi, il 1º gennaio 1801, portò Gauss a interessarsi ai moti degli asteroidi perturbati da grandi pianeti. Le sue scoperte furono pubblicate nel 1809 nel volume Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum (Teoria del moto di corpi celesti che si muovono percorrendo sezioni coniche intorno al sole).

Ritratto di Gauss pubblicato sull'Astronomische Nachrichten nel 1828.

Piazzi fu in grado di osservare e tracciare gli spostamenti di Cerere soltanto per un paio di mesi, seguendolo per tre gradi attraverso il cielo notturno. Dopodiché scomparì temporaneamente dietro il bagliore del Sole. Alcuni mesi dopo, quando Cerere sarebbe dovuto riapparire, Piazzi non riuscì a localizzarlo: gli strumenti matematici del tempo non erano in grado di ricavarne la posizione con a disposizione così pochi dati - tre gradi rappresentano meno dell'1% dell'orbita totale.

Gauss, che aveva 23 anni a quel tempo, venne a sapere di questo problema e se ne interessò, impegnandosi a trovare una soluzione. Dopo tre mesi di duro lavoro, predisse la posizione di Cerere nel dicembre 1801 - appena un anno dopo il suo primo avvistamento - con un errore di appena mezzo grado. Introdusse la costante gravitazionale di Gauss, e sviluppò il cosiddetto metodo dei minimi quadrati, una procedura usata tutt'oggi in tutte le scienze per minimizzare l'impatto degli errori di misurazione. Gauss pubblicò tale metodo soltanto nel 1809, quando fu in grado di dimostrarlo adeguatamente con l'assunzione degli errori distribuiti normalmente (vedi teorema di Gauss-Markov), benché l'avesse usato sin dal 1794.[12] Ad ogni modo, il metodo venne descritto per la prima volta nel 1805 da Adrien-Marie Legendre.

In questi anni entrò in conflitto con Adrien-Marie Legendre, poiché sembra che egli avesse scoperto senza pubblicare alcune scoperte di Legendre, come appunto il metodo dei minimi quadrati e la congettura del teorema dei numeri primi. Gauss tuttavia era un uomo semplice, e non si lasciò coinvolgere in queste dispute. Al giorno d'oggi, sembra confermato che effettivamente Gauss abbia scoperto tali risultati prima di Legendre.

Gauss era un prodigioso "calcolatore mentale". Si dice che si divertisse a setacciare un intervallo di mille numeri in cerca di numeri primi appena aveva un quarto d'ora di tempo, cosa che normalmente richiederebbe ore e ore di duro lavoro. Dopo aver calcolato l'orbita di Cerere gli fu chiesto come avesse fatto a ottenere valori numerici così precisi. Rispose "Ho usato i logaritmi". L'interlocutore allibito gli chiese allora dove avesse trovato tabelle dei logaritmi che arrivavano fino a numeri così grandi. La replica di Gauss fu: "Tabelle? Li ho calcolati mentalmente!"

Nel 1818 fu chiesto a Gauss di compiere una rilevazione geodetica dello stato dell'Hannover, associandola ai precedenti rilevamenti in Danimarca. Gauss accettò il compito di buon grado, applicandovi la sua straordinaria abilità nel calcolare, unita all'utilizzazione dell'eliotropio, da lui inventato, costituito da un piccolo telescopio e da una serie di specchi che riflettevano i raggi solari a grandi distanze, per poter effettuare delle misure. Intrattenne una regolare corrispondenza con Schumacher, Olbers e Bessel, in cui riportava i suoi progressi e discuteva il problema.

Sembra che Gauss sia stato il primo a scoprire le potenzialità della geometria non euclidea, ma sembra che, per paura di pubblicare un lavoro così rivoluzionario, tenne per sé i risultati. Questa scoperta fu una delle più importanti rivoluzioni matematiche di tutti i tempi. Essa consiste sostanzialmente nel rifiuto di uno o più postulati di Euclide, cosa che porta alla costruzione di un modello geometrico consistente e non contraddittorio. Ricerche su questa geometria portarono, fra le varie cose, alla teoria della relatività generale di Einstein, che descrive l'Universo come non euclideo. L'amico di Gauss Farkas (Wolfgang) Bolyai, con cui Gauss aveva giurato "fratellanza nel nome della sincerità", da studente aveva per molti anni provato invano a dimostrare il V postulato di Euclide. Suo figlio János Bolyai invece (ri) scoprì la geometria non euclidea nel 1829, pubblicando poi il suo risultato nel 1832. Dopo averlo letto, Gauss scrisse a Farkas Bolyai, che gli aveva chiesto un parere: "Lodare questo lavoro sarebbe come lodare me stesso. Infatti esso coincide quasi esattamente con le meditazioni che ho fatto trenta, trentacinque anni fa". Questo amareggiò molto Janos, che mise fine ai rapporti con Gauss pensando che egli stesse rubando la sua idea. Al giorno d'oggi la precedenza di Gauss è quasi sicuramente appurata. Alcune lettere di Gauss, anni prima del 1832, rivelano che egli discutesse in modo oscuro riguardo al problema delle linee parallele. Waldo Dunnington, un vecchio studente di Gauss, in Gauss, Titano della Scienza sostiene che Gauss difatti fosse completamente in possesso della geometria non euclidea già molto prima che venisse pubblicata da János Bolyai, ma che si fosse rifiutato di pubblicarla per il timore della controversia.

Tomba di Gauss nel cimitero Albanifriedhof di Gottinga

La cartografia dell'Hannover portò Gauss a sviluppare la distribuzione gaussiana degli errori, chiamata anche variabile casuale normale usata per descrivere la misura degli errori, e ad interessarsi alla geometria differenziale, un campo della matematica che concerne le curve e le superfici. Da tale interesse, fra le varie cose nacque la curvatura gaussiana; ciò portò, nel 1828, ad un importante teorema, il Teorema egregium (teorema eccezionale, in Latino), che stabilisce importanti proprietà nella nozione di curvatura. Grossomodo, il teorema afferma che la curvatura di una superficie può essere interamente determinata dalla misura degli angoli e delle distanze sulla superficie. Perciò, la curvatura non dipende da come la superficie può essere immersa in uno spazio tridimensionale o bidimensionale.

Nel 1821, Gauss entrò a far parte, come membro straniero, dell'Accademia Reale Svedese delle Scienze.

Ultimi anni e morte (1831 - 1855)[modifica | modifica wikitesto]

Dagherrotipia di Gauss nel suo letto di morte, 1855.

Nel 1831 Gauss iniziò una fruttuosa collaborazione col professore di fisica Wilhelm Eduard Weber, che portò alla scoperta di una nuova legge del campo elettrico (teorema del flusso), oltre che a trovare una rappresentazione per l'unità del magnetismo in termini di massa, lunghezza e tempo, e della seconda legge di Kirchhoff. Nel 1833, Gauss e Weber costruirono un primitivo telegrafo elettromagnetico, che collegava l'osservatorio con l'istituto di fisica di Gottinga. Gauss fece costruire un osservatorio magnetico nel giardino dell'osservatorio astronomico, e insieme a Weber fondò il magnetischer Verein (club magnetico in tedesco), che confermò le misurazioni del campo magnetico terrestre in diverse regioni del pianeta. Sviluppò un metodo di misurazione dell'intensità orizzontale del campo magnetico, che venne largamente utilizzato per tutta la metà del XX secolo ed elaborò la teoria matematica per la distinzione delle sorgenti del campo magnetico terrestre in interne (nucleo e crosta) e esterne (magnetosfera).

Gauss morì a Gottinga, Hannover (ora parte della Bassa Sassonia, Germania), nel 1855 e fu interrato nel cimitero di Albanifriedhof. Due persone diedero gli elogi funebri al suo funerale: il genero Heinrich Ewald e Wolfgang Sartorius von Waltershausen, caro amico di Gauss e suo biografo. Il suo cervello fu studiato da Rudolf Wagner, che ne determinò la massa, pari a 1,492 grammi, e l'area cerebrale, pari a 219.588 millimetri quadrati[13] (340.362 pollici quadrati). Si trovò inoltre che fosse particolarmente ricco di circonvoluzioni, e nel XX secolo qualcuno ipotizzò che il suo genio fosse dovuto a questo.[3]

Religione[modifica | modifica wikitesto]

Secondo Waldo Dunnington, la fede di Gauss era basata sulla ricerca della verità. Egli credeva nell'"immortalità dell'individualità spirituale, in una permanenza personale dopo la morte, in un ultimo ordine di cose, in un Dio eterno, onesto, onnisciente ed onnipotente". Gauss, inoltre, difendeva la tolleranza religiosa, credendo che fosse sbagliato disturbare coloro che erano in pace con le loro credenze.[3]

Famiglia[modifica | modifica wikitesto]

Una delle figlie di Gauss, Therese (1816—1864)

La vita privata di Gauss è stata oscurata a partire dalla prematura morte della sua prima moglie, Johanna Osthoff, nel 1809, seguita in breve tempo dalla morte di un figlio, Louis. Gauss entrò in un periodo di depressione, dal quale non si riprese mai completamente. Si sposò nuovamente con la migliore amica di Johanna, chiamata Friederica Wilhelmine Waldeck, ma comunemente conosciuta come Minna. Quando anche la sua seconda moglie morì, nel 1831, dopo una lunga malattia,[14] una delle sue figlie, Therese, si fece carico della famiglia e si prese cura del padre per il resto della sua vita. La madre di Gauss visse in casa sua dal 1817 fino alla sua morte, nel 1839.[3]

Gauss ebbe sei figli. Da Johanna (1780–1809), ebbe Joseph (1806–1873), Wilhelmina (1808–1846) e Louis (1809–1810). Di tutti i figli di Gauss, si diceva che fosse Wilhelmina ad aver ereditato tratti del talento del padre, ma sfortunatamente morì giovane. Anche da Minna Waldeck ebbe tre figli: Eugene (1811–1896), Wilhelm (1813–1879) e Therese (1816–1864). Eugene emigrò negli Stati Uniti all'incirca nel 1832, dopo un litigio avuto con il padre. Wilhelm si sistemò nel Missouri, iniziando a fare la contadina ed arricchendosi poi entrando a far parte del business delle scarpe a Saint Louis. Therese mantenne la casa per Gauss fino alla sua morte, dopo la quale si sposò.

Alla fine, Gauss ebbe vari conflitti con i suoi figli, due dei quali emigrarono negli Stati Uniti. Egli pretendeva che nessuno dei suoi figli s'interessasse di matematica o scienze, per "paura d'infangare il nome di famiglia". Gauss voleva che Eugene diventasse un avvocato, ma quest'ultimo volle studiare lingue. Padre e figlio litigarono durante una festa, tenuta da Eugene, per la quale Gauss rifiutò di pagare. Il figlio se ne andò infuriato ed emigrò negli Stati Uniti, dove ebbe un discreto successo. Ci vollero molti anni perché la reputazione di Eugene contrastasse la reputazione fra gli amici e i colleghi di Gauss (vedi anche la lettera da Robert Gauss a Felix Klein, 3 settembre 1912).

Personalità e vita privata[modifica | modifica wikitesto]

Monumento di Gottinga che ritrae Gauss insieme a Weber per commemorare la loro collaborazione

Gauss era un perfezionista e un lavoratore accanito. Secondo Isaac Asimov, mentre stava lavorando ad un problema, sarebbe stato interrotto per riferirgli che sua moglie stava morendo. Gauss avrebbe risposto: "Ditele di aspettare un attimo, sono impegnato".[15] Questo aneddoto è brevemente discusso in Gauss, Titano della Scienza di Waldo Dunnington, dove è suggerito che questa sia una storia apocrifa. Non fu uno scrittore molto prolifico, rifiutando di pubblicare qualcosa che non fosse assolutamente perfetto e lungi da possibili critiche. Il suo motto era difatti Pauca sed matura (Poche cose, ma mature, dal Latino). I suoi diari personali indicano che egli compì molte importanti scoperte matematiche anni o decenni prima che i suoi contemporanei le pubblicassero. Lo storico matematico Eric Temple Bell stima che, se Gauss avesse pubblicato per tempo tutte le sue scoperte, avrebbe anticipato i matematici di almeno cinquant'anni.[16]

Sebbene avesse avuto alcuni studenti, Gauss era risaputo detestare l'insegnamento. Si dice che egli prese parte ad un'unica conferenza scientifica, che si tenne a Berlino nel 1828. Rare erano le collaborazioni con altri matematici, che lo consideravano solitario e austero. Tuttavia, molti dei suoi studenti divennero importanti matematici, fra i quali possiamo citare Richard Dedekind, Bernhard Riemann e Friedrich Bessel. Prima che morisse, Sophie Germain venne raccomandata da Gauss affinché ricevesse anche lei la sua laurea honoris causa.

Gauss era profondamente religioso e conservatore. Sostenne la monarchia e si oppose a Napoleone, che egli vedeva come una conseguenza della rivoluzione.

La vita e la personalità di Gauss sono tratteggiate, parallelamente a quelle di Alexander von Humboldt, in una sorta di romanzo filosofico di Daniel Kehlmann del 2005 (pubblicato in italiano da Feltrinelli nel 2006 con il titolo La misura del mondo).

Scoperte scientifiche[modifica | modifica wikitesto]

Algebra[modifica | modifica wikitesto]

Gauss fu il primo a dimostrare, nel 1799, il Teorema fondamentale dell'algebra, il quale afferma che il campo dei numeri complessi è algebricamente chiuso, ossia che ogni polinomio a coefficienti complessi ha almeno una radice in C. Dal teorema segue che un polinomio di grado n ha esattamente n radici in campo complesso, se contate con le rispettive molteplicità.

La dimostrazione originale di Gauss è importante in quanto contiene il concetto di piano complesso (o appunto piano di Gauss), un piano cartesiano in cui l'ascissa indica la parte reale e l'ordinata indica la parte immaginaria. Il piano complesso è stato utilizzato poi da moltissimi altri matematici che lo hanno valorizzato appieno.

Geometria[modifica | modifica wikitesto]

Gauss risolse appena diciannovenne un problema aperto da millenni, ossia determinare quali poligoni regolari possono essere costruiti usando solo riga e compasso. La sorprendente risposta fu che si possono costruire con riga e compasso tutti i poligoni regolari tali che il numero n dei lati possa essere scritto nella forma:

n=2^{k}F_{i_1}F_{i_2}\cdots F_{i_m}

dove gli  F_{i_j} sono numeri primi di Fermat. Gauss provò così che il poligono regolare a 17 lati (o eptadecagono) poteva essere costruito con riga e compasso. Tale costruibilità implica che le funzioni trigonometriche di {2\pi\over17} possono essere espresse grazie all'aritmetica basilare e a radici quadrate. All'interno delle Disquisitiones Arithmeticae è contenuta la seguente equazione, qui trascritta in notazione moderna:


 \begin{align} 16\,\operatorname{cos}{2\pi\over17} = -1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+ 2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}.
 \end{align}

La costruzione effettiva dell'eptadecagono fu trovata da Johannes Erchinger pochi anni dopo. Gauss si interessò anche di impacchettamenti di sfere, dimostrando un caso speciale della congettura di Keplero.

Successivamente i suoi studi lo portarono a concepire un tipo di geometria completamente nuovo: la geometria differenziale. In questo tipo di geometria l'utilizzo di tecniche di calcolo infinitesimale permette di introdurre concetti chiave come curvatura, geodetica, campo vettoriale e forma differenziale. Alcuni dei risultati ottenuti da Gauss furono pubblicati nel Disquisitiones generales circa superficies curvas.

Come già accennato Gauss fu poi un pioniere nello sviluppo delle geometrie non euclidee. Gauss fu forse il primo a comprendere che il V postulato di Euclide non era indispensabile per costruire una geometria coerente. Gauss iniziò così a sviluppare la geometria iperbolica. In questa geometria per un punto passano più di una parallela a una retta data. Inoltre in ogni triangolo la somma degli angoli interni è sempre inferiore a 180 gradi. Questo modello geometrico fu sviluppato indipendentemente da almeno altre due persone, János Bolyai e Nikolai Ivanovich Lobachevsky.

Teoria dei numeri[modifica | modifica wikitesto]

La copertina delle Disquisitiones Arithmeticae

Gauss si occupò di teoria dei numeri ottenendo interessanti risultati. Terminò le Disquisitiones Arithmeticae, il suo magnum opus, nel 1798, all'età di ventun'anni, sebbene esse non vennero pubblicate prima del 1801. In questo libro, scritto in Latino[17], Gauss raccoglie risultati della teoria dei numeri ottenuti da matematici come Fermat, Euler, Lagrange e Legendre, aggiungendovi importanti nuovi contributi originali.

Le Disquisitiones coprono argomenti che vanno dalla teoria elementare dei numeri a quel ramo della matematica che oggi è chiamato teoria dei numeri algebrica. Tuttavia è bene precisare che Gauss in quest'opera non riconosce esplicitamente il concetto di gruppo. Introduce invece, l'aritmetica modulare, divenuta poi fondamentale per lo sviluppo della teoria dei numeri. L'aritmetica si fonda sull'importante concetto di congruenza:

 a \equiv b \pmod{n}

quando la differenza tra a e b è un multiplo di n. Gauss studiò anche le equazioni diofantee, dimostrando l'importantissimo teorema di reciprocità quadratica. Espresse per primo questo teorema nel linguaggio dell'aritmetica modulare.

Scoprì poi che ogni numero intero può essere espresso come somma di (al massimo) tre numeri triangolari. Gauss è poi noto per aver congetturato il Teorema dei numeri primi, che stabilisce un collegamento tra l'andamento dei numeri primi e il logaritmo integrale. Questa scoperta era una delle più importanti sull'argomento dal tempo degli antichi greci. Il teorema sarà dimostrato nel 1896 da Jacques Hadamard e Charles Jean de la Vallée-Poussin.

Statistica[modifica | modifica wikitesto]

Gauss studiò poi il comportamento degli errori. Inventò il metodo dei minimi quadrati, che tende a ridurre al minimo gli errori di misurazione. Grazie a questo metodo Gauss riuscì a calcolare l'orbita del pianetino Cerere, dopo che erano state compiute solo poche osservazioni empiriche sul suo moto.

Tuttavia il lavoro più importante in questo senso fu la scoperta della variabile casuale normale, detta anche gaussiana. La curva è generata dalla funzione:

f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \; e^ {- \frac{\left( x - \mu \right)^2}{2 \sigma ^2}}

e descrive il comportamento e l'entità degli errori di misurazione. La variabile normale è sicuramente una delle più importanti variabili casuali, ed è estremamente diffusa in statistica.

Altro[modifica | modifica wikitesto]

Importanti sono anche le sue memorie sulle serie ipergeometriche e sugli integrali ellittici. Insieme a Wilhelm Weber studiò l'elettricità scoprendo il teorema del flusso e studiando le variazioni del campo magnetico terrestre. Insieme costruirono una sorta di telegrafo.

Riconoscimenti[modifica | modifica wikitesto]

Gauss rappresentato sul biglietto da 10 Marchi tedeschi
Gauss (a circa 26 anni) su un francobollo della Germania Orientale, prodotto nel 1977. Accanto a lui vengono mostrati un eptadecagono, una riga e un compasso.
Francobollo ritraente Gauss, stampato per il 100º anniversario della sua morte.

Dal 1989 fino alla fine del 2001, il suo ritratto e una distribuzione normale, insieme ad importanti edifici di Gottinga, apparvero sulla banconota da dieci marchi tedeschi. Sull'altro lato della banconota figuravano l'eliotropio ed un approccio di triangolazione per l'Hannover. La Germania ha addirittura rilasciato tre stampe in onore di Gauss. Una stampa fedele (n. 725) è stata rilasciata nel 1955 per il centenario della sua morte; due altre stampe (n. 1246 e n. 1811) sono state rilasciate nel 1977, per il 200º anniversario della sua nascita.

La novella Die Vermessung der Welt[18] (2005) di Daniel Kehlmann, tradotta in italiano come La Misura del Mondo: una novella nel 2006, esplora la vita di Gauss contrapponendola con quella dell'esploratore tedesco Alexander von Humboldt.

Nel 2007, il suo busto è stato introdotto nel tempio di Walhalla.[19]

In suo onore sono stati chiamati:

Onorificenze[modifica | modifica wikitesto]

Cavaliere dell'Ordine Pour le Mérite (classe di pace) - nastrino per uniforme ordinaria Cavaliere dell'Ordine Pour le Mérite (classe di pace)
— 1842
Cavaliere dell'Ordine di Massimiliano per le Scienze e le Arti - nastrino per uniforme ordinaria Cavaliere dell'Ordine di Massimiliano per le Scienze e le Arti
— 1853
Membro della Royal Society - nastrino per uniforme ordinaria Membro della Royal Society

Opere[modifica | modifica wikitesto]

  • 1799: Tesi di laurea sul teorema fondamentale dell'algebra con il titolo: Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse ("Nuova dimostrazione del teorema per il quale ogni funzione algebrica integrale di una variabile può essere risolta in fattori di primo o secondo grado")
  • 1801: Disquisitiones Arithmeticae. Traduzione tedesca di H. Maser Untersuchungen über höhere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae & altri documenti sulla teoria dei numeri) (Seconda edizione). New York: Chelsea. 1965. ISBN 0-8284-0191-8 pp. 1–453. Traduzione inglese di Arthur A. Clarke Disquisitiones Arithemeticae (Seconda edizione, corretta). New York: Springer. 1986. ISBN 0-387-96254-9.
  • 1807: Quaestio de cœlis sub uranis in proiectione quinta .
  • 1808: Theorematis arithmetici demonstratio nova. Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen XVI. Traduzione tedesca di H. Maser Untersuchungen über höhere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae & altri documenti sulla teoria dei numeri) (Seconda edizione)., pp. 457–462 [Introduce il lemma di Gauss, lo usa nella terza dimostrazione della reciprocità quadratica]
  • 1811: Summatio serierun quarundam singularium. Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen. Traduzione tedesca di H. Maser Untersuchungen über höhere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae & altri documenti sulla teoria dei numeri) (Seconda edizione). New York: Chelsea. 1965. ISBN 0-8284-0191-8, pp. 463–495 [Determinazione del segno della somma quadratica di Gauss, la usa per dare la quarta dimostrazione della reciprocità quadratica]
  • 1812: Disquisitiones Generales Circa Seriem Infinitam 1+\frac{\alpha\beta}{\gamma.1}+\mbox{etc.}
  • 1818: Theorematis fundamentallis in doctrina de residuis quadraticis demonstrationes et amplicationes novae. Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen. Traduzione tedesca di H. Maser Untersuchungen über höhere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae & altri documenti sulla teoria dei numeri) (Seconda edizione). New York: Chelsea. 1965. ISBN 0-8284-0191-8, pp. 496–510 [Quinta e sesta dimostrazione della reciprocità quadratica]
  • 1821, 1823 e 1826: Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae. Drei Abhandlungen betreffend die Wahrscheinlichkeitsrechnung als Grundlage des Gauß'schen Fehlerfortpflanzungsgesetzes. Traduzione inglese di G. W. Stewart, 1987, Società per la Matematica Industriale.
  • 1828: Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima. Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 6. Traduzione tedesca di H. Maser Untersuchungen über höhere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae & altri documenti sulle teoria dei numeri) (Seconda edizione). New York: Chelsea. 1965. ISBN 0-8284-0191-8, pp. 511–533 [Fatti elementari riguardo ai residui biquadratici, prova uno dei supplementi della legge della reciprocità biquadratica (il carattere biquadratico di 2)]
  • 1832: Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda. Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 7. Traduzione tedesca di H. Maser Untersuchungen über höhere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae & altri documenti sulle teoria dei numeri) (Seconda edizione)., pp. 534–586 [Introduce gli interi di Gauss, espone (senza dimostrazione) la legge di reciprocità biquadratica, dimostra la legge supplementare per 1 + i]
  • Mathematisches Tagebuch 1796–1814, Ostwaldts Klassiker, Harri Deutsch Verlag 2005, mit Anmerkungen von Neumamn, ISBN 978-3-8171-3402-1 (Traduzione inglese con annotazione di Jeremy Gray: Expositiones Math. 1984)
  • I lavori collettivi di Gauss si trovano qui Questo include le traduzioni tedesche di testi Latini e le commemorazioni da parte di varie autorità

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Eberhard Zeidler, Oxford User's Guide to Mathematics, Oxford, UK, Oxford University Press, 2004, p. 1188, ISBN 0-19-850763-1.
  2. ^ Come ricordano Giorgio Bagni e Bruno D'Amore ("A trecento anni dalla nascita di Leonhard Euler", in Scuola ticinese, vol. 36, n. 281, 2007, pp. 10-11), «Gauss sarà detto princeps mathematicorum sulla base di una medaglia d'oro ricevuta nel 1855 dall'Università di Gottinga con tale appellativo; ma più di un secolo prima Eulero era stato chiamato princeps mathematicorum su proposta del suo maestro, Giovanni Bernoulli, in una lettera del 23 settembre 1745».
  3. ^ a b c d e Dunnington, G. Waldo. (May, 1927). "The Sesquicentennial of the Birth of Gauss". Scientific Monthly XXIV: 402–414. Retrieved on 29 June 2005. Comprehensive biographical article.
  4. ^ Smith, S. A., et al. 2001. Algebra 1: California Edition. Prentice Hall, New Jersey. ISBN 0-13-044263-1
  5. ^ Carl Friedrich Gauss, Wichita State University.
  6. ^ Susan Chambless, Author — Date, Homepages.rootsweb.ancestry.com. URL consultato il 19 luglio 2009.
  7. ^ Gauss's Day of Reckoning » American Scientist
  8. ^ Joaquin Navarro, La vita segreta dei numeri, RBA Italia Srl, 2010.
  9. ^ Pappas, Theoni: Mathematical Snippets, Page 42. Pgw 2008
  10. ^ Carl Friedrich Gauss §§365–366 in Disquisitiones Arithmeticae. Leipzig, Germany, 1801. New Haven, CT: Yale University Press, 1965.
  11. ^ Felix Klein e Robert Hermann, Development of mathematics in the 19th century, Math Sci Press, 1979, ISBN 978-0-915692-28-6.
  12. ^ Bretscher, Otto, Linear Algebra With Applications, 3rd ed., Upper Saddle River NJ, Prentice Hall, 1995.
  13. ^ This reference from 1891 ( Henry H. Donaldson, Anatomical Observations on the Brain and Several Sense-Organs of the Blind Deaf-Mute, Laura Dewey Bridgman in The American Journal of Psychology, vol. 4, nº 2, E. C. Sanford, 1891, pp. 248–294, DOI:10.2307/1411270.) says: "Gauss, 1492 grm. 957 grm. 219588. sq. mm. ", i.e the unit is square mm. In the later reference: Dunnington (1927), the unit is erroneously reported as square cm, which gives an unreasonably large area, the 1891 reference is more reliable.
  14. ^ Gauss biography, Groups.dcs.st-and.ac.uk. URL consultato il 1º settembre 2008.
  15. ^ I. Asimov, Biographical Encyclopedia of Science and Technology; the Lives and Achievements of 1195 Great Scientists from Ancient Times to the Present, Chronologically Arranged., New York, Doubleday, 1972.
  16. ^ E. T. Bell, Ch. 14: The Prince of Mathematicians: Gauss in Men of Mathematics: The Lives and Achievements of the Great Mathematicians from Zeno to Poincaré, New York, Simon and Schuster, 2009, pp. 218–269, ISBN 0-671-46400-0.
  17. ^ Disquisitiones Arithmeticae - Gauss, Carl Friedrich; Clarke, Arthur C. - Yale University Press
  18. ^ Die Vermessung der Welt (novel) Reinbek bei Hamburg: Rowohlt, 2005. ISBN 3-498-03528-2
  19. ^ Bayerisches Staatsministerium für Wissenschaft, Forschung und Kunst: Startseite, Stmwfk.bayern.de. URL consultato il 19 luglio 2009.
  20. ^ Steven C. Althoen e Renate McLaughlin, Gauss–Jordan reduction: a brief history in The American Mathematical Monthly, vol. 94, nº 2, Mathematical Association of America, 1987, pp. 130–142, DOI:10.2307/2322413, ISSN 0002-9890.
  21. ^ Andersson, L. E.; Whitaker, E. A., (1982). NASA Catalogue of Lunar Nomenclature. NASA RP-1097.
  22. ^ W. J. Hehre, W. A. Lathan, R. Ditchfield, M. D. Newton, and J. A. Pople, Gaussian 70 (Quantum Chemistry Program Exchange, Program No. 237, 1970)
  23. ^ Computational Chemistry, David Young, Wiley-Interscience, 2001. Appendix A. A.2.4 pg 336, Gaussian
  24. ^ Carl Friedrich Gauss Prize for Applications of Mathematics, www.mathunion.org. URL consultato il 21 giugno 2011.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • G. Waldo. Dunnington, Carl Friedrich Gauss: Titan of Science, The Mathematical Association of America, 2003, ISBN 0-88385-547-X, OCLC 53933110.
  • Carl Friedrich Gauss tr. Arthur A. Clarke: Disquisitiones Aritmeticae, Yale University Press, 1965. ISBN 0-300-09473-6
  • T. Hall, Carl Friedrich Gauss: A Biography, Cambridge, MIT Press, 1970. ISBN 0-262-08040-0
  • Rossana Tazzioli, Gauss: principe dei matematici e scienziato poliedrico, Collana I grandi della Scienza, Rivista Le Scienze, anno V, n. 28, ottobre 2002
  • Daniel Kehlmann, Die Vermessung der Welt, Rowohlt, 2005, ISBN 3-498-03528-2, OCLC 144590801.
  • Wolfgang Sartorius von Waltershausen, Gauss: A Memorial, 1966.
  • J. Simmons, The Giant Book of Scientists: The 100 Greatest Minds of All Time, Sydney, The Book Company, 1996.
  • Margaret Tent, The Prince of Mathematics: Carl Friedrich Gauss, A K Peters, 2006, ISBN 1-56881-455-0.

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