Quadratura di Gauss

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In analisi numerica, le formule gaussiane di quadratura sono formule di quadratura numerica di massimo grado di precisione, utilizzate per l'approssimazione di un integrale definito della forma \int_{a}^{b}f(x)dx conoscendo n+1 valori della funzione f nell'intervallo [a,b].

Teorema[modifica | modifica sorgente]

Dati n+1 punti nodali \{x_{0},x_{1}...x_{n}\} in un intervallo [a,b], e una funzione  f(x) , il grado di precisione di una formula interpolatoria di quadratura \sum_{i=0}^{n}f(x_{i}) w_{i} è uguale a 2n+1 se questi nodi sono gli zeri di un polinomio ortogonale P_{n+1}(x) in [a,b] rispetto ad una funzione peso w(x).

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Per ipotesi si scelga una f(x)\in\Bbb{P}_{n} ,spazio dei polinomi di grado n,la scelta della  f(x) infatti non influenza la successione di valori w_{i}.

Vale allora che \int_{a}^{b}f(x)w(x)dx = \sum_{i=0}^{n}f(x_{i}) w_{i}

perché essendo univocamente determinati i pesi w_{i},la formula di quadratura deve essere di precisione almeno n. Si consideri il polinomio B(x),un polinomio di grado  2n+1,tale che  B(x_{i})=f(x_{i}) per ogni i, e che  B(x)-f(x)=P_{n+1}(x)g_{n}(x),dove P_{n+1} è un polinomio ortogonale di grado n+1 avente gli n+1 zeri nei punti nodali.

È quindi possibile scrivere \int_{a}^{b}w(x)[B(x)-f(x)]dx=\int_{a}^{b}w(x)[P_{n+1}(x)g_{n}(x)]dx


ma il secondo membro dell'uguaglianza vale 0 essendo P_{n+1}(x) polinomio ortogonale. Ne segue che \int_{a}^{b}w(x)B(x)dx=\int_{a}^{b}w(x)f(x)dx=\sum_{i=0}^{n}f(x_{i}) w_{i}=\sum_{i=0}^{n}B(x_{i}) w_{i}

da cui risulta che, considerando il primo e l'ultimo membro della serie di uguaglianze, i pesi \{w_{0},w_{1}...w_{n}\} sono i coefficienti di una formula di quadratura numerica di grado 2n+1.

Calcolo dei pesi[modifica | modifica sorgente]

Dalla definizione di formula interpolatoria di quadratura numerica si ha che il generico peso di interpolazione w_{i} è costruito come

\int_{a}^{b}l_{i}(x)dx

o generalmente

\int_{a}^{b}l_{i}(x)w(x)dx


dove l_{i}(x) è il coefficiente del polinomio di Lagrange di indice i. l_{i}(x) può anche essere espresso come

h(x) \over (x-x_{i})h'(x_{i})


Se si intende con h(x) la funzione così definita:

(x-x_{0})(x-x_{1})...(x-x_{n})

Il polinomio ortogonale ha n+1 zeri, quindi

 P_{n+1}(x_{i}) = a_{n+1}h(x)

dunque

 l_{i}(x) =  P_{n+1}(x) \over (x-x_{i}) P'_{n+1}(x_{i})

Pertanto il generico peso w_{i} è calcolabile come

 1 \over P'_{n+1}(x_{i})  \int_{a}^{b}{P_{n+1}(x) w(x)dx \over (x-x_{i}) }

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]


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