Poligono regolare

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Un poligono regolare è un poligono avente tutti i lati e gli angoli congruenti fra loro.

Esagono regolare iscritto in una circonferenza.

C = centro della circonferenza.
r = raggio della circonferenza.
l = lato del poligono.
a = apotema del poligono.
α = angolo di base del triangolo isoscele.

Si tratta cioè di una porzione di piano euclideo delimitato da una linea spezzata chiusa, formata da una successione di segmenti di uguale lunghezza (detti lati), che formano tra di loro angoli di uguale ampiezza. Il nome poligono individua una pluralità (poli) di angoli (gonos) ed il termine regolare sottende ad una loro uguaglianza. Si nota facilmente che, come in ogni poligono, il numero di lati risulta essere sempre uguale al numero di angoli, infatti, poiché ogni lato forma due angoli alle sue estremità con il lato precedente e quello successivo, si hanno 2 angoli per ciascun segmento; tuttavia, poiché ogni angolo è in comune a due lati, risulta conseguente che il numero di angoli sia uguale a quello dei lati.

La creazione di una spezzata con le suddette proprietà che individui una porzione di piano non nulla implica che il numero di lati sia maggiore o uguale a 3 e che il poligono sia convesso.

Un poligono regolare avente 3 angoli si definisce triangolo equilatero (per distiguerlo da un triangolo generico non regolare), con 4 quadrato, con 5 pentagono regolare, con 6 esagono regolare, e si procede per $n$ angoli anteponendo il prefisso che individua il numero di angoli al suffisso -gono seguito dal termine regolare al fine di marcare la distinzione con un poligono generico.

[modifica] Proprietà

Un poligono regolare avente $n$ $(n \ge 3)$ lati risulta sempre:

convesso;
inscrivibile e circoscrivibile in due circonferenze aventi centro coincidente;
suddivisibile in $n$ triangoli isosceli uguali tra di loro;
con $n$ pari, avere centro di simmetria coincidente col centro della circonferenza.
con $n$ dispari, avere asse di simmetria coincidente con l'asse di un lato.

Inoltre, la somma dei suoi angoli interni sarà sempre pari a:

$Somma\ angoli\ interni = (numero\ lati - 2)\cdot\ 180^\circ$

Invece la somma dei suoi angoli esterni sarà sempre pari a:

$Somma\ angoli\ esterni = 360^\circ$

[modifica] Angoli interni

Per ricavare gli angoli interni di un poligono regolare consideriamo il triangolo isoscele che ha per vertici, gli estremi di un lato ed il centro della circonferenza circoscritta, questo ha, l'angolo al centro uguale, in radianti, a:

$\beta = \frac{2 \pi}{n}$

o, in gradi:

$\beta = \frac{360^\circ}{n}$

e l'angolo alla base uguale, in radianti, a:

$\alpha = \frac{\pi - \beta}{2} = \frac{n - 2}{2 n} \pi$

o, in gradi:

$\alpha = \frac{180^\circ - \beta}{2} = \frac{n - 2}{2 n} 180^\circ$

Essendo, l'angolo interno del poligono regolare, somma di 2 angoli adiacenti, alla base dei triangoli isosceli, esso sarà, in radianti:

$2\alpha = \frac{n - 2}{n} \pi$

ed in gradi:

$2\alpha = \frac{n - 2}{n} 180^\circ$

essendo il numero degli angoli interni, pari a $n$ , è immediatamente dimostrato che la loro somma è pari a $(n - 2)\cdot 180^\circ$ .

[modifica] Angoli esterni

Si dicono angoli esterni gli angoli formati da un lato del poligono e dalla prosecuzione del lato consecutivo. Le prosecuzioni dei lati del poligono devono essere tutte in senso orario o antiorario.

Risulta evidente, dalla costruzione, che la misura dell'angolo esterno è data dalla sottrazione dall'angolo piatto costruito sul prolungamento del lato, dell'angolo interno del poligono, quindi, in radianti:

$\gamma = \pi - \frac{n - 2}{n} \pi = \frac{2 \pi}{n}$

ed in gradi:

$\gamma = 180^\circ - \frac{n - 2}{n} 180^\circ = \frac{360^\circ}{n}$

essendo il numero degli angoli esterni, pari a $n$ , è immediatamente dimostrato che la loro somma è pari a $360^\circ$ .

[modifica] Apotema

L'apotema è la distanza di ciascun lato del poligono con il centro della circonferenza circoscritta e coincide con il raggio della circonferenza inscrivibile nel poligono. Risulta essere una proprietà specifica di ciascun poligono regolare e si ricava con metodi trigonometrici: detti $2α$ l'angolo compreso tra due lati successivi (che è a sua volta una proprietà specifica di ciascun poligono) e $r$ il raggio della circonferenza in cui il poligono è inscritto (ovvero la distanza fra il centro del poligono e ciascun vertice) si ha:

$a(\alpha) = r \sin \left(\frac{2 \alpha}{2} \right) = r \sin \alpha$

che, sostituendo il valore di $α$ , si esprime in funzione di $n$ :

$a(n) = r\sin \left(\frac{\pi - \beta}{2} = \frac{n - 2}{2 n} \pi\right) = r\sin\left( \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{n}\right)=r\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)$

L'apotema può essere espresso anche in funzione della lunghezza del lato e del numero di lati del poligono regolare. Infatti, applicando la formula trigonometrica al triangolo rettangolo formato dall'apotema, metà lato del poligono ed il raggio della circonferenza circoscritta, abbiamo:

$a(l, n) = \frac{1}{2} l \tan \left(\alpha\right) = \frac{1}{2} l \tan \left(\frac{n - 2}{2 n} \pi\right)$

[modifica] Perimetro

Il perimetro $P$ è definito come la lunghezza della spezzata che delimita il poligono. Detti $n$ il numero di angoli (o lati) e $l$ la lunghezza del lato, esso è calcolabile attraverso la formula:

$P = nl \,\!$

Il lato $l$ , può essere calcolato in funzione della lunghezza del raggio della circonferenza circoscritta e del numero di lati. Infatti, applicando la formula trigonometrica al triangolo rettangolo formato dall'apotema, metà lato del poligono ed il raggio della circonferenza circoscritta, abbiamo:

$l = 2r \cos(\alpha) = 2r \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{n}\right) = 2r \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$

Il lato $l$ , può essere calcolato anche in funzione della lunghezza dell'apotema e del numero di lati. Infatti, considerando sempre lo stesso triangolo precedente ed applicando la formula trigonometrica appropriata, abbiamo:

$l = 2a \cot(\alpha) = 2a \cot\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{n}\right) = 2a \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)$

[modifica] Area: formula generalizzata

Poiché ogni poligono regolare è suddivisibile in $n$ triangoli isosceli uguali tra loro, per calcolare la superficie del poligono è sufficiente calcolare la superficie di un triangolo $A t$ e moltiplicarla per $n$ .

Dunque:

$S = nA_t \,\!$

Poiché $A_t = \frac{b_t h_t}{2}$ dove $b t$ e $h t$ sono rispettivamente la base e l'altezza del triangolo, si può scrivere:

$S = n\frac{b_t h_t}{2}=nb_t\frac{h_t}{2}$

Considerando che nel caso del poligono regolare: $b t = l$ possiamo sostituire in questo modo:

$S = nl\frac{h_t}{2}=P \frac{h_t}{2}$

Giustificando la seconda uguaglianza con la formula del perimetro. La grandezza $h t$ , ovvero l'altezza di ciascuno dei triangoli rettangoli che compongono il poligono regolare, è chiamata apotema ( $a$ ). In conclusione:

$S = \frac{Pa}{2}$

Sostituendo in questa formula, l'equazione dell'apotema, si può esprimere l'area del poligono regolare in funzione della lunghezza del lato e del numero di lati; infatti, ricordando che $P = n l$ , si ha:

$S(l, n) = \frac{1}{4} n l^2 \tan\left(\frac{n - 2}{2 n}\pi\right) = \frac{1}{4} n l^2 \cot\left(\frac{\pi}{n}\right)$

Da questa formula ricaviamo alcuni casi particolari:

Quadrato $n = 4$

$S = l^2 \tan \left(\frac{\pi}{4}\right) = l^2$

Triangolo equilatero $n = 3$

$S = \frac{3}{4} l^2 \tan \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{4} l^2$

Esagono $n = 6$

$S = \frac{3}{2} l^2 \tan \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{3 \sqrt{3}}{2} l^2$

[modifica] Tabella riepilogativa

Numero di lati, angoli e vertici	Poligono	Angolo interno
3	Triangolo equilatero	$60^\circ \$
4	Quadrato	$90^\circ \$
5	Pentagono	$108^\circ \$
6	Esagono	$120^\circ \$
7	Ettagono	$\simeq$ $128,57^\circ \$
8	Ottagono	$135^\circ \$
9	Ennagono	$140^\circ \$
10	Decagono	$144^\circ \$