Poligono regolare

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Pentagono regolare inscritto in una circonferenza.
  • C = centro della circonferenza circoscritta,
  • V = un vertice del poligono,
  • L = un lato del poligono,
  • d = una diagonale del poligono,
  • r = un raggio della circonferenza circoscritta,
  • a = un apotema del poligono.

Un poligono regolare è un poligono convesso che è contemporaneamente equilatero (cioè ha tutti i lati congruenti fra loro) e equiangolo (cioè ha tutti gli angoli congruenti fra loro). Si tratta cioè di una porzione convessa di piano euclideo delimitato da una linea spezzata chiusa, formata da una successione di segmenti di uguale lunghezza (detti lati), che formano tra di loro angoli di uguale ampiezza. Il nome poligono individua una pluralità (poli) di angoli (gonos) e il termine regolare sottende a una loro uguaglianza. Come in ogni poligono, il numero di lati coincide con il numero degli angoli e con il numero di vertici, inoltre affinché la porzione di piano individuata da tale spezzata sia non nulla, vi devono essere almeno 3 lati.

Un poligono regolare con 3 angoli si definisce triangolo equilatero, con 4 quadrato, con 5 pentagono regolare, con 6 esagono regolare, e si procede per n angoli anteponendo il prefisso che individua il numero di angoli al suffisso -gono seguito dal termine regolare al fine di marcare la distinzione con un poligono generico.

Prime proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Costruzione con riga e compasso di un esagono regolare

Ogni poligono regolare con n lati è inscrivibile e circonscrivibile in due circonferenze, infatti tracciando le bisettrici degli angoli interni si ottengono n triangoli isosceli tutti congruenti e con un vertice in comune, che risulta quindi essere il centro di tali circonferenze.

Un poligono regolare è simmetrico rispetto a ogni retta passante per un vertice e il centro. Pertanto, vi sono esattamente n assi di simmetria; se poi il numero di lati n è pari, allora il centro è centro di simmetria per il poligono. Oltre a queste simmetrie, vi sono anche altre trasformazioni lineari che lasciano invariato il poligono, ossia le rotazioni rispetto al centro di angoli multipli di 360°/n. L'insieme di tutte queste trasformazioni forma un gruppo, il gruppo diedrale di ordine 2n.

Ogni angolo interno di un poligono ha ampiezza pari a (1 - 2/n) · 180º, pertanto la somma degli angoli interni è (n - 2) · 180º. Gli angoli esterni invece misurano 360°/n e dunque la loro somma consiste in un angolo di 360°.

Non tutti i poligoni regolari sono costruibili con riga e compasso, si dimostra infatti che una condizione necessaria e sufficiente perché ciò accada è che i fattori primi dispari del numero di lati siano primi di Fermat distinti. In particolare, il triangolo equilatero, il quadrato, il pentagono e l'esagono regolari sono costruibili con riga e compasso, mentre l'ettagono regolare non lo è.

Angoli[modifica | modifica wikitesto]

  α = angolo al centro,
  β = angolo interno,
  γ = angolo esterno.

Dato che gli n triangoli isosceli in cui è scomponibile il poligono sono tutti congruenti, è chiaro che ogni angolo al centro α ha ampiezza

\alpha = \frac{360^\circ}{n}.

Di conseguenza, dato che gli angoli alla base di tali triangoli isosceli hanno ampiezza che è la metà di ogni angolo interno β, si ha che

\beta = 2\cdot\frac\beta 2=180^\circ- \alpha=\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdot 180^\circ,

mentre ogni angolo esterno γ ha ampiezza

\gamma = 180^\circ- \beta=\frac{360^\circ}{n}=\alpha.

Dato che il numero di angoli interni, esterni e al centro è sempre n, segue che la somma degli angoli interni è

n\beta = \left(n-2\right)\cdot 180^\circ,

mentre la somma di somma degli angoli al centro (o, equivalentemente, degli angoli esterni) è

n\alpha=n\gamma=360^\circ.

Apotema[modifica | modifica wikitesto]

Ogni poligono regolare è inscrivibile e circonscrivibile in due circonferenze concentriche. Il raggio della circonferenza inscritta è detto apotema e, chiaramente, coincide con la distanza dal centro di un qualsiasi lato del poligono. È facile ricavare una relazione tra l'apotema e il raggio della circonferenza circoscritta. Infatti, dato che i lati uguali di ognuno degli n triangoli isosceli che compongono il poligono sono raggi della circonferenza circoscritta e che gli angoli alla base hanno ampiezza β/2, risulta che l'apotema (che coincide con l'altezza di tali triangoli) misura

a = r \, \mathrm{sen} \frac{\beta}{2} = r \, \mathrm{sen} \left(90^\circ-\frac{180^\circ}{n}\right)=r \, \mathrm{cos} \frac{180^\circ}{n},

ove r è il raggio della circonferenza circoscritta. Esprimendo l'apotema in funzione del lato l del poligono (nonché base del triangolo isoscele), si ha

a = \frac l 2\tan \frac\beta 2 = \frac l 2\tan\left(90^\circ-\frac{180^\circ}{n}\right)=\frac l 2\cot\frac{180^\circ}{n}.

Da queste due equazioni si può anche ricavare il raggio della circonferenza circoscritta in funzione del lato:

r = \frac l{2\,\mathrm{sen} \frac{180^\circ}{n}}.

Perimetro e area[modifica | modifica wikitesto]

Il perimetro P_n è definito come la lunghezza della spezzata che delimita il poligono. Chiaramente risulta

P_n = nl,

o anche, usando le formule della sezione precedente,

P_n = 2 n r\,\mathrm{sen} \frac{180^\circ}{n} = 2 n\tan \frac{180^\circ}{n} a.

Per calcolare l'area di un poligono regolare è sufficiente moltiplicare per n l'area dei triangoli isosceli che lo compongono. Quindi, dato che tali triangoli hanno come base un lato e come altezza l'apotema, l'ennagono regolare ha area

A_n = n \frac{a l}2 = \frac{ n l^2}4\cot\frac{180^\circ}{n}

o, equivalentemente,

A_n =  n r^2\mathrm{sen}\frac{180^\circ}{n} \cdot \cos\frac{180^\circ}{n} = \frac {nr^2}2 \mathrm{sen}\frac{360^\circ}{n} = n \tan \frac{180^\circ}{n} a^2.

Si noti che per n che tende all'infinito, l'area tende a

\lim_{n\rightarrow\infty} A_n =  \pi r^2,

perché

\lim_{n\rightarrow\infty} n\tan \frac{180^\circ}{n} =  \pi,

che è non è altro che l'area del cerchio circoscritto, confermando così l'intuizione che al crescere del numero dei lati il poligono vada a "riempire" il cerchio circoscritto.

Pentagono, Esagono e Decagono[modifica | modifica wikitesto]

I lati AC del Pentagono, BC dell'Esagono e AB del Decagono regolari, inscritti in cerchi di pari raggio, formano i lati di un triangolo rettangolo

Nel libro XIII dei suoi Elementi, Euclide dimostra la seguente proposizione:

« Se si iscrive in un cerchio un pentagono equilatero, il quadrato del lato del pentagono è uguale alla somma dei quadrati dei lati dell'esagono e del decagono regolari che siano inscritti nello stesso cerchio. »

Di questa proposizione Euclide dà una lunga spiegazione geometrica, ma qui ci limiteremo a una verifica ottenibile conoscendo la lunghezza dei lati e applicando il Teorema di Pitagora. Ammesso che il cerchio in cui si inscrivono i poligoni abbia raggio unitario, le formule che esprimono le lunghezze del lato L5 del Pentagono, L6 dell'Esagono e L10 del Decagono, sono le seguenti:

  • L_5 = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2}
  • L_6 = 1
  • L_{10} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}

Allora:

\sqrt{L_6^2+L_{10}^2} = \sqrt{1^2 + \left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^2} = \sqrt{1+\frac{5}{4}-\frac{2\sqrt{5}}{4}+\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{10}{4}-\frac{2\sqrt{5}}{4}} = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2} = L_5

Quindi dato che la somma dei quadrati dei lati dell'esagono e del decagono dà il quadrato del lato del pentagono, ne consegue che il lato del pentagono è ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti sono i lati dell'esagono e del decagono.

Tabella riepilogativa[modifica | modifica wikitesto]

Costruzione del pentagono regolare
Costruzione approssimata dell'ettagono regolare

N.B.: Se si pensa a un poligono con un grandissimo numero di lati, l'angolo interno di quel poligono tende a diventare piatto, il lato tende a diventare nullo e l'area si avvicina di più a pi greco.

Numero di lati,
angoli e vertici
Poligono Disegno Angolo
interno
Lato[1] Area[1] Animazione: costruzione
con riga e compasso
3 Triangolo
equilatero
Regular triangle.svg 60° √3≅1.732 3/4·√3≅1.299 Costruzione esatta
4 Quadrato Regular quadrilateral.svg 90° √2≅1.414 2 Costruzione esatta
5 Pentagono Pentagon.svg 108° ≅1.176 ≅2.378 Costruzione esatta
6 Esagono Hexagon.svg 120° 1 3/2·√3≅2.598 Costruzione esatta
7 Ettagono Heptagon.svg ≅128,57° ≅0.868 ≅2.736 Costruzione approssimata
8 Ottagono Octagon.svg 135° ≅0.765 2·√2≅2.828 Costruzione esatta
9 Ennagono Nonagon.svg 140° ≅0.684 ≅2.893 Costruzione approssimata
10 Decagono Decagon.svg 144° ≅0.618 ≅2.939 Costruzione esatta
11 Endecagono Hendecagon.svg ≅147,27° ≅0.563 ≅2.974 Costruzione approssimata
12 Dodecagono Dodecagon.svg 150° ≅0.518 3 Costruzione esatta
13 Tridecagono Triskaidecagon.svg ≅152,31° ≅0.479 ≅3.021 Costruzione approssimata
14 Tetradecagono Regular tetradecagon.svg ≅154,29° ≅0.445 ≅3.037 Costruzione approssimata
15 Pentadecagono Pentadecagon.svg 156° ≅0.416 ≅3.051 Costruzione esatta
16 Esadecagono Regular hexadecagon.svg 157,5° ≅0.390 ≅3.061 Costruzione esatta
17 Ettadecagono Heptadecagon.svg ≅158,82° ≅0.367 ≅3.071 Costruzione esatta
34-gono, 51-gono
85-gono, 255-gono
18 Ottadecagono Regular octadecagon.svg 160° ≅0.347 ≅3.078 Costruzione approssimata
19 Ennadecagono Regular enneadecagon.svg ≅161,05° ≅0.329 ≅3.085 Costruzione approssimata
20 Icosagono Icosagon.svg 162° ≅0.313 ≅3.090 Costruzione esatta
257 257-gono ≅178.6° ≅0.024 ≅3,141 Costruzione esatta
65537 65537-gono ≅179.9945° ≅0.000096 ≅3,1416 Costruzione parziale

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b Riferito al poligono regolare con raggio circoscritto pari a uno.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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