Poligono

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Un poligono è una particolare forma geometrica piana: è quella parte di piano delimitata da una linea spezzata chiusa. I segmenti che compongono la spezzata chiusa si dicono lati del poligono.

Alcuni poligoni: i primi due sono convessi, il terzo è concavo, il quarto è intrecciato e stellato.

Indice

[modifica] Definizione

[modifica] Poligono non intrecciato

Un poligono non intrecciato è la parte di piano delimitata da una linea spezzata chiusa non intrecciata. Ricordiamo che una linea spezzata non intrecciata è l'unione finita di 3 o più segmenti consecutivi non adiacenti (detti lati) tali che due qualunque segmenti non consecutivi sono privi di punti in comune. Il punto in comune a due lati consecutivi è un cosiddetto vertice del poligono.

Il fatto che una linea spezzata chiusa delimiti effettivamente una porzione di piano è, per quanto intuitivo, un risultato non banale della geometria piana: si tratta di una conseguenza del teorema della curva di Jordan.

Una definizione costruttiva è la seguente: un punto p del piano appartiene al poligono se (con al più un numero finito di eccezioni) tutte le semirette uscenti in p intersecano la spezzata in un numero finito e dispari di punti distinti.

[modifica] Poligono intrecciato

Un poligono intrecciato.

Generalmente, per "poligono" si intende un "poligono non intrecciato". Un poligono intrecciato è una parte di piano delimitata da una linea spezzata chiusa intrecciata. In questo caso, la nozione di "parte di piano delimitata" è meno intuitiva e può cambiare a seconda delle interpretazioni. Alcuni poligoni stellati sono esempi di poligoni intrecciati.

[modifica] Poligoni particolari

[modifica] Poligono convesso e concavo

Un poligono non intrecciato è convesso se e solo se tutti i suoi angoli interni sono minori o uguali di un angolo piatto. Equivalentemente, il poligono si trova tutto nello stesso semipiano, rispetto a ciascuna delle rette cui appartiene ogni suo lato.

Un poligono (non intrecciato) non convesso è detto a volte concavo. Un poligono concavo possiede almeno un angolo interno maggiore di un angolo piatto.

[modifica] Poligono regolare

Un poligono regolare è un poligono in cui tutti i lati e tutti gli angoli sono uguali. Altrimenti il poligono è detto irregolare. Esempi di poligoni regolari sono il triangolo equilatero ed il quadrato. Esempi di poligoni irregolari sono il rombo generico (i lati sono uguali, gli angoli no), il rettangolo generico (gli angoli sono uguali, i lati no) ed il trapezio.

[modifica] Proprietà

[modifica] Angoli

Un poligono irregolare

La somma degli angoli interni di un poligono è pari a tanti angoli piatti quanti sono i suoi lati (l), meno due:

180^\circ \times (l-2)

Ad esempio, il poligono in figura ha cinque lati, e quindi:

\alpha + \beta + \gamma + \delta + \varepsilon = (5-2) \times 180^\circ = 540^\circ

La dimostrazione può essere svolta per induzione: in un triangolo la somma degli angoli è 180°, e preso un qualunque poligono una sua diagonale lo divide in due altri poligoni con un numero minore di lati, per cui si può far valere l'ipotesi induttiva.

Analogamente, la somma degli angoli esterni di un poligono convesso con l lati è uguale a

(360^\circ \times l)-[(l-2) \times 180^\circ)] = 180^\circ \times (l + 2).

Questo perché la somma totale degli angoli esterni e interni è 360°*l.

[modifica] Area

Con la Shoelace formula è possibile calcolare l'area di un poligono con n vertici aventi coordinate cartesiane (x_i;y_i)_{i=1\ldots n} nel modo seguente:

A=\frac{1}{2}\left|\sum_{i=1}^{n} x_i y_{i+1} - \sum_{i=1}^{n} x_{i+1} y_i\right|

con la convenzione che (xn + 1;yn + 1) = (x1;y1).

[modifica] Classificazione

Distinzione in base al numero di lati e, quindi, di angoli:

N° lati Nome
3 Triangolo
4 Quadrilatero
5 Pentagono
6 Esagono
7 Ettagono
8 Ottagono
9 Ennagono
10 Decagono
11 Endecagono
12 Dodecagono
13 Tridecagono
14 Tetradecagono
15 Pentadecagono
16 Esadecagono
17 Eptadecagono
18 Ottadecagono
19 Ennadecagono
20 Icosagono
21 Endeicosagono
22 Doicosagono
23 Triaicosagono
24 Tetraicosagono
25 Pentaicosagono
26 Esaicosagono
30 Triacontagono
50 Pentacontagono
1000 Chiliagono
10000 Miriagono

[modifica] Voci correlate

[modifica] Altri progetti

[modifica] Collegamenti esterni


Poligoni
Triangolo | Quadrilatero | Pentagono | Esagono | Ettagono | Ottagono | Ennagono | Decagono | Endecagono | Dodecagono | Tridecagono | Tetradecagono | Pentadecagono | Esadecagono | Eptadecagono | Ottadecagono | Ennadecagono | Icosagono | Triacontagono | Pentacontagono | Chiliagono | Miriagono
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