Poligono

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Alcuni poligoni: i primi due sono convessi, il terzo è concavo, il quarto è intrecciato e stellato.

In geometria un poligono è una figura geometrica piana delimitata da una linea spezzata chiusa. I segmenti che compongono la spezzata chiusa si dicono lati del poligono e i punti in comune a due lati consecutivi si dicono vertici del poligono.

La parola "poligono" deriva dal greco πολύς (polys, "molti") e γωνία (gōnia, "angolo").

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Una definizione di poligono è la seguente.

Un poligono è la parte di piano delimitata da una linea spezzata semplice chiusa.

Ricordiamo che una linea spezzata è l'unione finita di 3 o più segmenti consecutivi non adiacenti detti lati. Una linea spezzata è chiusa quando il secondo estremo dell'ultimo segmento coincide con il primo estremo del primo. Una linea spezzata è non intrecciata se due lati non consecutivi non si intersecano mai.

Il punto in comune a due lati consecutivi è detto vertice.

Sulla parte delimitata[modifica | modifica sorgente]

Il fatto che una linea spezzata chiusa non intrecciata delimiti effettivamente una porzione di piano è, per quanto intuitivo, un risultato non banale della geometria piana: si tratta di una conseguenza del teorema della curva di Jordan.

Una definizione costruttiva è la seguente: un punto  p del piano appartiene al poligono se (con al più un numero finito di eccezioni) tutte le semirette uscenti in p intersecano la spezzata in un numero finito e dispari di punti distinti.

Classificazione[modifica | modifica sorgente]

Numero di lati[modifica | modifica sorgente]

Una prima classificazione di un poligono riguarda il suo numero di lati (vedi i nomi di poligono).

Convessità[modifica | modifica sorgente]

Un poligono è:

semplice 
se i lati del poligono non si intersecano.
complesso (o intrecciato) 
Un poligono intrecciato.
se non è semplice.

Un poligono semplice è:

convesso 
se ogni angolo interno è minore o uguale ad un angolo piatto (o, equivalentemente, se il prolungamento immaginario di ogni segmento che congiunge due suoi vertici va al di fuori del poligono).
concavo 
se anche un solo angolo interno è maggiore di 180 gradi (o, equivalentemente, se il prolungamento immaginario di uno o più segmenti cade all'interno del poligono).

Simmetria con uguaglianza[modifica | modifica sorgente]

In base alla simmetria, un poligono è:

equilatero
se tutti i suoi lati sono uguali.
equiangolo
se tutti i suoi angoli sono uguali.
ciclico 
se tutti i suoi angoli giacciono su un'unica circonferenza.
regolare
se è convesso, equilatero ed equiangolo (o, equivalentemente, se è ciclico ed equilatero).
irregolare 
se non è regolare.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Angoli[modifica | modifica sorgente]

Un poligono irregolare

La somma degli angoli interni di un poligono è pari a tanti angoli piatti quanti sono i suoi lati (l), meno due

 180^\circ \times (l-2)

Ad esempio, il poligono in figura ha cinque lati, e quindi:

 \alpha + \beta + \gamma + \delta + \varepsilon = (5-2) \times 180^\circ = 540^\circ

La dimostrazione può essere svolta per induzione: in un triangolo la somma degli angoli è 180°, e preso un qualunque poligono una sua diagonale lo divide in due altri poligoni con un numero minore di lati, per cui si può far valere l'ipotesi induttiva.

La somma degli angoli esterni di un poligono convesso con n lati è uguale a

 (360^ \circ \times n)-[180^\circ \times (n-2)] = 180^\circ \times (n+2) .

In quanto la somma di tutti gli angoli esterni ed interni è, evidentemente, pari a n angoli giro: sottraendo al totale la somma di quelli interni, avremo la somma di quelli esterni.

Area[modifica | modifica sorgente]

Con la Formula dell'area di Gauss è possibile calcolare l'area di un poligono con  n vertici aventi coordinate cartesiane (x_i;y_i)_{i=1\ldots n} nel modo seguente:

A=\frac{1}{2}\left|\sum_{i=1}^{n} x_i y_{i+1} - \sum_{i=1}^{n} x_{i+1} y_i\right|

con la convenzione che (x_{n+1};y_{n+1})=(x_1;y_1).

Con questa formula possiamo ricavare una superficie di una qualsiasi figura piana attraverso le coordinate dei suoi vertici. È una formula molto utilizzata nella topografia e nella trigonometria.

Nomi di poligono[modifica | modifica sorgente]

Distinzione in base al numero di lati e, quindi, di angoli:

N° lati Nome
3 Triangolo
4 Quadrilatero
5 Pentagono
6 Esagono
7 Ettagono
8 Ottagono
9 Ennagono
10 Decagono
11 Endecagono
12 Dodecagono
13 Tridecagono
14 Tetradecagono
15 Pentadecagono
16 Esadecagono
17 Eptadecagono
18 Ottadecagono
19 Ennadecagono
20 Icosagono
21 Endeicosagono
22 Doicosagono
23 Triaicosagono
24 Tetraicosagono
25 Pentaicosagono
26 Esaicosagono
30 Triacontagono
50 Pentacontagono
257 257-gono
1 000 Chiliagono
10 000 Miriagono
65537 65537-gono

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Altri progetti[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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