Poligono stellato

Un pentagono stellato

In geometria piana, un poligono stellato è un "poligono" avente una forma stellata.

Definizione

Un poligono stellato è una linea spezzata chiusa che delimita un insieme stellato del piano. A differenza degli ordinari poligoni, la linea spezzata può autointersecarsi: coppie di spigoli distinti possono cioè intersecarsi in un punto interno.

Poligoni regolari stellati con n lati.

Un poligono stellato è regolare se

1. I suoi vertici coincidono con quelli di un poligono regolare con $n$ lati.
2. Gli spigoli connettono il vertice $i$-esimo con il vertice $(i+k)$-esimo, per ogni $i$.

La seconda affermazione va intesa nel modo seguente: i vertici sono ordinati ciclicamente lungo la circonferenza lungo cui giacciono, ed il numero $(i+k)$ è da interpretare nell'aritmetica modulare modulo $n$: cioè, se $i+k>n$, il numero $(i+k)$ va interpretato in realtà come $i+k-n$.

Per $k=1$ si ottiene l'usuale poligono regolare con $n$ lati.

Compreso il caso di $k=1$, un n-poligono stellato può assumere $\mathcal {b} \frac{n-1}{2} \mathcal {c}$ forme. Ad esempio, nel caso in cui $n=5$, sono possibili il pentagono regolare o il pentagramma, mentre per $n=10$ esistono quattro poligoni differenti (per $k=1,2,3,4$). Tuttavia, nel caso in cui n e k non siano coprimi, ossia quando $\frac{n}{k} = \frac{n_0 \ p_1 p_2 ... p_m}{k_0 \ p_1 p_2 ... p_m} , p_i \in \mathbb{N}$, questi poligoni sono in realtà composti da "sotto-stelle", equivalenti a dei $n_0$-poligoni stellati il cui k è $k_0$; il numero di questi sotto-poligoni è $\frac{n}{n_0} = p_1 p_2 ... p_m$; questo si spiega ricordando che i vertici del poligono sono numerati in modo modulare, e quindi se n equivale a un multiplo (in senso modulare) di k, il poligono si chiuderà in sotto-poligoni.

Se, per esempio, consideriamo un 14-gono con k=6, la frazione $n/k$ si può ridurre: $\frac{14}{6} = \frac{7\cdot 2}{3\cdot 2} = \frac{7}{3}$. Ciò significa che il poligono considerato è formato da 2 (cioè $14/7$) 7-goni stellati con k=3, centro comune e ruotati l'uno rispetto all'altro di $2\pi /14$. Poligoni stellati di questo tipo sono detti composti.

Un poligono stellato regolare ha spigoli tutti di eguale lunghezza, e angoli ai vertici di eguale ampiezza. In particolare, se $\ell$ è il lato del poligono regolare stellato e $\ell_P$ la distanza tra due vertici adiacenti dello stesso, vale la relazione:

$\frac{\ell}{\ell_P} = \frac{\sin \frac{\pi k}{n}}{\sin \frac{\pi}{n}}$

dove n è il numero di vertici del poligono e k la distanza modulare tra due vertici connessi dal lato del poligono stellato.

Dimostrazione

Inscrivendo il poligono stellato in una circonferenza di raggio $R$, si osserva che il segmento che congiunge due vertici adiacenti è una corda, la cui lunghezza è, per il teorema della corda,

$\ell_P = 2R\sin \theta$,

con $\theta$ angolo alla circonferenza, di ampiezza $\pi /n$. Il lato del poligono stellato è un'altra corda, lunga

$\ell = 2R\sin (\theta k)$,

poiché k esprime la distanza modulare dei vertici del poligono. Rapportando le lunghezze, si ottiene

$\frac{\ell}{\ell_P} = \frac{\sin (\theta k)}{\sin \theta} = \frac{\sin \frac{\pi k}{n}}{\sin \frac{\pi}{n}}$, Q.E.D..

Esempi

Sono mostrati qui sotto i poligoni stellati regolari per i primi valori di $\{n/k\}$.

{5/2}

{7/2}

{7/3}

{8/3}

{9/2}

{9/4}

Parte interna dei poligoni stellati

La parte interna di un poligono stellato può essere interpretata in vari modi diversi, come mostrato nella figura seguente.

Tali interpretazioni si riflettono anche in alcuni poliedri definiti aventi facce stellate. Ad esempio, il prisma archimedeo stellato è definito come un prisma, ma con facce regolari stellate alle due basi.

Bibliografia

• (EN) Cromwell, P.; Polyhedra, CUP, Hbk. 1997, ISBN 0-521-66432-2. Pbk. (1999), ISBN 0-521-66405-5.
• (EN) Grünbaum, B.; G. C. Shephard; Tilings and Patterns, New York: W. H. Freeman & Co., (1987), ISBN 0-7167-1193-1.
• (EN) Grünbaum, B.; Polyhedra with Hollow Faces, Proc of NATO-ASI Conference on Polytopes ... etc. (Toronto 1993), ed T. Bisztriczky et al, Kluwer Academic (1994) pp. 43-70.

Voci correlate

• Numero stellato
• Poligono
• Poliedro stellato
• Stella magica
• Prisma archimedeo stellato

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