Pentagono

In geometria, un pentagono è un poligono a cinque lati.

Un pentagramma può essere formato da un pentagono regolare o estendendo i suoi lati, o disegnando le sue diagonali, e la figura risultante contiene varie lunghezze correlate dalla proporzione aurea.

Costruzione di un pentagono regolare

Pentagono regolare

Un pentagono regolare è un pentagono con i cinque angoli ed i cinque lati uguali.

Proprietà geometriche

• Ampiezza di ciascuno degli angoli interni:

$\pi - \frac{2 \pi}{5}=\frac{3}{5}\pi$ ovvero $108^\circ$;

• apotema ($a$), dove $l$ è il lato del pentagono ed $r$ è il raggio della circonferenza in cui il pentagono è inscritto:
  • $a(l)= l\frac{1}{2}\cot\left(\frac{\pi}{5}\right)\simeq 0{,}6881909602 \ l$
  • $a(r)= r\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)\simeq 0{,}8090169943 \ r$
• area:

$A(l)=\frac{Pa}{2}=\frac{5la}{2}=l^2\frac{5}{4}\cot\left(\frac{\pi}{5}\right)\simeq 1{,}720477400 \ l^2$

• diagonale, dove φ rappresenta il numero aureo:

$d = \varphi \, l = \frac {1+ \sqrt {5} }{2} l \, .$

Secondo l'uso corrente si definisce il rapporto

$\frac{a}{l} =\frac{1}{2}\cot\left(\frac{\pi}{5}\right) \simeq 0{,}6881909602$

il numero fisso del pentagono.

Disegno di un pentagono regolare

Il processo di disegno per un pentagono regolare venne descritto da Euclide nel suo Elementi nel 300 a.C. circa.

1. Tracciare un cerchio, nel quale inscrivere il pentagono, e marcare il centro come O
2. Scegliere un punto sulla circonferenza, questo punto si chiamerà A e sarà uno dei vertici del pentagono. Tracciare una linea che interseca la circonferenza del cerchio passando da A e O.
3. Costruire una linea perpendicolare alla precedente (OA) passando per O. L'intersezione di una delle sue estremità con la circonferenza viene chiamata B
4. Segnare il punto C: corrispondente alla metà tra O e B
5. Disegnare un cerchio con centro in C e passante per A. La sua intersezione con la linea OB viene chiamata D
6. Disegnare un cerchio con centro in A e passante per il punto D. I punti in cui si interseca con la prima circonferenza sono E e F
7. Disegnare un cerchio con centro in E, passante per A. Il punto in cui si interseca con la prima circonferenza è G
8. Disegnare un cerchio con centro in F, passante per A. Il punto in cui si interseca con la prima circonferenza è H
9. Costruire il pentagono regolare unendo A E G H F

Costruzione del pentagono regolare mediante un Cerchio di Carlyle

Determinazione del Cerchio di Carlyle

Costruzione del pentagono regolare

È noto che i vertici di un pentagono regolare, inscritto in un cerchio di raggio unitario, possono essere determinati risolvendo l'equazione ciclotomica

$z^5=1,$

le cui radici sono date dall'espressione

$\xi^n = e^{2\pi i n/5},$

per n compreso fra 0 e 4. Dato che l'equazione ciclotomica non ha termini di grado 1, sommando tutte le soluzioni si ottiene 0. Pertanto, se dal totale togliamo ξ⁰=1, la somma delle rimanenti radici è -1. Inoltre, dalla formula di Eulero segue che:

$V = \xi^2 + \xi^3 = 2 \cos(4\pi / 5),$

$W = \xi^1 + \xi^4 = 2 \cos(2\pi / 5).$

da cui si possono ricavare le seguenti relazioni:

$s = V + W = -1,$

$p = V \cdot W = -1.$

Queste espressioni danno luogo a un'equazione di secondo grado, che può facilmente essere risolta tramite un Cerchio di Carlyle:

• Si trovano i punti A e B di coordinate (0,1) e (s, p).
• Si costruisce la circonferenza il cui diametro è il segmento AB. Il centro M di tale circonferenza risulterà avere coordinate (-1/2,0).

Le intersezioni della circonferenza con l'asse delle x sono i punti V e W. La bisezione dei segmenti OV e OW determina i punti E ed F, che sono le ascisse dei vertici del pentagono.

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