Secondo teorema di Euclide

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In geometria, il secondo teorema di Euclide è un teorema concernente il triangolo rettangolo che deriva, assieme al primo, dalla proposizione 8 del VI libro degli Elementi di Euclide.

Enunciato[modifica | modifica sorgente]

Secondo teorema di Euclide.svg

Il teorema di Euclide può essere enunciato in due modi diversi ma equivalenti a seconda della proprietà che si desidera sottolineare.

Considerando l'equiestensione tra figure il teorema afferma che:

in un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa.

Se si vuole considerare invece il rapporto tra la lunghezza dei segmenti, il teorema afferma che:

In un triangolo rettangolo, l'altezza relativa all'ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa.

Le due enunciazioni sono equivalenti e mutuamente dimostratesi.

Dimostrazione del primo enunciato[modifica | modifica sorgente]

Dimostrazione del secondo teorema di Euclide mediante l'equivalenza

Facendo riferimento alla figura, sia CL congruente e perpendicolare a CA e CR congruente a CH.

Si vuole dimostrare che il quadrato HPQB è equivalente al rettangolo RLMS.

Si consideri il triangolo rettangolo BCH e ad esso si applichi il teorema di Pitagora. Si ottiene che il quadrato CBDE è equivalente alla somma dei quadrati HPQB e CRSH.

Si consideri ora il triangolo rettangolo ABC, e ad esso si applichi il primo teorema di Euclide. Si ottiene che il quadrato CBDE è equivalente al rettangolo CLMH, ma tale rettangolo può essere considerato come la somma del quadrato CRSH e del rettangolo RLMS.

Allora la somma di HPQB e CRSH è equivalente alla somma di CRSH e RLMS, quindi, per differenza, HPQB è equivalente a RLMS.

Dimostrazione del secondo enunciato[modifica | modifica sorgente]

In formule, facendo riferimento al triangolo rettangolo in figura il teorema afferma che CH:BH=BH:AH. In modo equivalente: BH^2=CH·AH.

Si considerino i triangoli BCH e ABH. Dato che l'angolo BAH è complementare di BCA, si può concludere che gli angoli HCB e ABH sono congruenti, e quindi i triangoli BCH e ABH sono simili per il primo criterio di similitudine. Si può quindi scrivere la proporzione CH:BH=BH:AH.

Dimostrazione con il Teorema di Pitagora[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teorema di Pitagora.

Il teorema di Pitagora, applicato al triangolo ABC ci dice che:

AB^2+BC^2=AC^2

Invece applicato al triangolo CHB

CH^2 + BH^2 = BC^2

E al triangolo AHB

AH^2 + BH^2 = AB^2

Unendo le due uguaglianze abbiamo che:

AH^2 + BH^2 + CH^2 + BH^2 = AH^2 + 2BH^2 + CH^2 = AC^2

Ma AC=CH+AH e dunque

 AH^2 + 2BH^2 + CH^2 = (CH + AH)^2= CH^2 + AH^2+ 2AH·CH

Togliendo i quadrati da entrambi i lati:

 2BH^2 = 2AH·CH

Ossia

 BH^2 = AH·CH

Che è l'equivalenza

Equivalenza fra gli enunciati[modifica | modifica sorgente]

È facile mostrare che i due enunciati sono fra loro equivalenti, una volta introdotto il concetto di misura. Infatti, con riferimento alla figura, il primo enunciato si può esprimere anche dicendo che l'area della superficie del quadrato HPQB è equivalente all'area della superficie del rettangolo RLMS. In formule: BH·BH=RS·RL. Avendo costruito la figura in modo che RS=CH e che LR=AH, si può scrivere che BH·BH=CH·AH, il che significa che CH:BH=BH:AH, che infine dimostra l'equivalenza fra i due.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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