Primo teorema di Euclide

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In geometria, il primo teorema di Euclide è un teorema attinente al triangolo rettangolo che deriva, assieme al secondo, dalla proposizione 8 del VI libro degli Elementi di Euclide; nei testi scolastici può essere enunciato in due modi diversi a seconda della proprietà che si desidera sottolineare:

  1. mediante l'equiestensione tra figure:
    In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull'ipotenusa.
  2. mediante relazioni tra segmenti:
    In ogni triangolo rettangolo ciascun cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa.


Enunciato con l'equivalenza[modifica | modifica sorgente]

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo avente per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull'ipotenusa stessa. Dimostrazione

Euclide1.png

Facendo riferimento alla figura, si consideri il triangolo rettangolo ABC. Sul cateto BC si costruisca il quadrato BDEC e sia CH la proiezione del cateto BC sull'ipotenusa CA. Si costruisca il rettangolo HCLM avente CL congruente a CA. Si prolunghi il lato ED dalla parte di D fino ad incontrare in F la retta contenente il segmento CL e in G la retta contenente il segmento MH. Si vuole dimostrare che il quadrato BDEC è equivalente al rettangolo HCLM.

Si considerino ora i triangoli ABC e CFE. Essi hanno:

  • BC congruente a CE per costruzione,
  • l'angolo ABC congruente all'angolo FEC perché retti
  • l'angolo BCA congruente all'angolo ECF perché entrambi complementari dello stesso angolo FCB.

Dunque, per il secondo criterio di congruenza dei triangoli, i triangoli ABC e CFE sono congruenti, e in particolare si ha che CA è congruente a CF.

Si considerino il quadrato BDEC e il parallelogramma FCBG. Essi hanno la stessa base CB e la stessa altezza DB (perché DE e GF appartengono alla stessa retta) e quindi sono equivalenti.

Si considerino il parallelogramma FCBG e il rettangolo HCLM. Essi hanno basi congruenti (infatti FC è congruente a CA per dimostrazione precedente, e CA è congruente a CL per costruzione, quindi FC è congruente a CL per la proprietà transitiva della congruenza) e la stessa altezza (infatti FC e CL appartengono alla stessa retta, e così pure BG e MH), quindi sono equivalenti.

Allora, per la proprietà transitiva dell'equivalenza, il quadrato BDEC è equivalente al rettangolo HCLM.

Enunciato con la proporzione[modifica | modifica sorgente]

In un triangolo rettangolo il cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa.

In formule, facendo riferimento al triangolo rettangolo in figura:  AC   :   BC  =  BC   :   CH. In modo equivalente:  BC^2 = AC ·CH.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Si considerino i triangoli ABC e BCH. Essi hanno tutti gli angoli congruenti (sono entrambi rettangoli e hanno l'angolo in C in comune), e quindi sono simili per il primo criterio di similitudine. Da ciò si ricava:  AC : BC = BC : CH .

C.V.D.

Equivalenza fra gli enunciati[modifica | modifica sorgente]

È facile mostrare che i due enunciati sono fra loro equivalenti, una volta introdotto il concetto di misura. condizionato tramite ((2))

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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