Dodecaedro

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Dodecaedro
120px-Dodecahedron-slowturn.gif
Tipo Solido platonico
Forma facce Pentagoni
Nº facce 12
Nº spigoli 30
Nº vertici 20
Valenze vertici 3
Gruppo di simmetria A_5\times\mathbb Z_2
Duale Icosaedro
Proprietà non chirale

In geometria solida il dodecaedro è un poliedro con dodici facce. Generalmente con questo termine si intende però il dodecaedro regolare: nel dodecaedro regolare le facce sono pentagoni regolari che si incontrano in ogni vertice a gruppi di tre.

Solido platonico[modifica | modifica wikitesto]

Il dodecaedro regolare è uno dei cinque solidi platonici. Ha quindi un grande numero di simmetrie. Ha 20 vertici e 30 spigoli. Il suo poliedro duale è l'icosaedro, anch'esso solido platonico.

Area e volume[modifica | modifica wikitesto]

L'area e il volume di un dodecaedro il cui spigolo ha lunghezza a sono date rispettivamente da:

A=3a^2\sqrt{25+10\sqrt5},
V=\begin{matrix}{1\over4}\end{matrix}(15+7\sqrt5)a^3.

oppure approssimando:

V=7{,}663a^3

La costruzione di Euclide[modifica | modifica wikitesto]

Fig. 1: costruzione di un pentagono la cui diagonale AD coincide con lo spigolo di un cubo
Fig. 2: applicazione dei dodici pentagoni sugli spigoli del cubo

Nel libro XIII dei suoi Elementi, Euclide descrive il metodo per inscrivere un dodecaedro regolare in una sfera di diametro dato. La costruzione si basa sul fatto che, scelti opportunamente 8 dei 20 vertici di un dodecaedro regolare, questi sono anche i vertici di un cubo inscritto nella stessa sfera. La costruzione di Euclide è la seguente:

Si inscriva un cubo nella sfera data e si considerino due facce adiacenti, ABCD e ADEF, di tale cubo (vedi Fig. 1). Siano poi T, G, L, W ed M i punti medi di EF, AD, BC, AB e CD rispettivamente e R e J i punti medi di GT e GL. Infine, si tracci il cerchio di raggio KM e centro K, determinando così il punto H. Con raggio HJ e centro in J si determinano i punti P e N sul segmento MW. Sia poi H il più vicino a G tra i due punti di intersezione tra la circonferenza e GL; si può verificare che H divide GJ in "media ed estrema ragione", ovvero è tale che il rapporto tra HJ e GJ è la sezione aurea. Infine, sia S il punto di GT tale che GS = GH.

Si tracci le semiretta uscente da S e perpendicolare alla faccia ADEF e si determini il punto della semiretta X di distanza JH (=SR) da S. Si faccia lo stesso dai punti P ed N (stavolta rispetto alla faccia ABCD), determinando i punti Y e Z. I punti A, D, X, Y, Z andranno a formare i vertici di una faccia del pentagono.

A seguito delle istruzioni per la costruzione suddetta, Euclide dimostra con un lungo ragionamento che i punti X, Y e Z, assieme ai punti A e D, sono i vertici di uno dei pentagoni regolari che costituiscono il dodecaedro (i cui lati sono disegnati in rosso). Eccone alcuni accenni:

Per prima cosa occorre dimostrare che i cinque punti indicati sono complanari, cosa che si verifica facilmente guardando la proiezione laterale che compare in basso a destra nella figura 1. In tale figura sono riportati solo i punti appartenenti al piano che passa per le linee TG e GL (il punto U è il punto medio del lato YZ del pentagono). I segmenti di lunghezza a e b sono stati ottenuti come sezione aurea del segmento a+b (metà dello spigolo del cubo); tenendo presente la definizione classica di sezione aurea a : b = b : a+b, è immediato che i triangoli GSX e GJU sono simili, quindi sono uguali fra loro gli angoli ε. Di conseguenza, i segmenti XG e GU sono allineati su un'unica retta, e quindi i cinque punti del pentagono giacciono su un unico piano.

Il fatto che i cinque lati del pentagono sono uguali fra loro si può verificare applicando il teorema di Pitagora; a questo proposito, basta verificare che YZ è uguale a uno qualunque degli altri lati, che sono per forza uguali fra loro: infatti ciascuno dei lati ZD, DX, XA e AY risulta essere diagonale di un parallelepipedo i cui spigoli sono a, b e a+b (relativamente al lato ZD: gli spigoli del parallelepipedo di cui è diagonale sono a=MN, b=NZ e a+b=DM).

Occorre infine verificare che gli angoli interni del pentagono siano uguali fra loro e questo può essere dimostrato per via indiretta, sempre grazie al teorema di Pitagora. Si può verificare infatti che le distanze di ciascun vertice dal punto centrale Q della sfera (nonché del cubo e del dodecaedro) sono tutte uguali fra loro, e da questo segue che i vertici del pentagono si trovano su una circonferenza il cui centro è la proiezione del punto Q sul piano del pentagono AYZBX: quindi il pentagono stesso, avendo i lati uguali e i vertici che stanno su una circonferenza, è regolare. Ma il fatto che le distanze dei vertici del pentagono dal centro Q della sfera sono tutti uguali dimostra anche che i vertici del pentagono stanno sulla superficie della sfera in cui si deve inscrivere il dodecaedro.

A questo punto, per ottenere il dodecaedro basta ripetere la stessa costruzione per le 11 facce rimanenti, come mostrato in figura 2.

Storia[modifica | modifica wikitesto]

Dodecaedro dell'antica Roma

Come gli altri solidi platonici, il dodecaedro è stato oggetto di studio dei filosofi fin dall'antichità. Fra questi, Pitagora e Platone. Quest'ultimo, nel Timeo, associò ad ognuno dei 5 solidi platonici un elemento: dopo il fuoco, la terra, l'aria e l'acqua, al dodecaedro fu assegnata l'"etere" o "quintessenza" che componeva i corpi celesti e l'anima. Secondo il filosofo, il cosmo aveva la forma del dodecaedro.

Poliedro duale[modifica | modifica wikitesto]

Il poliedro duale del dodecaedro è l'icosaedro.

Simmetrie[modifica | modifica wikitesto]

Il dodecaedro possiede 120 simmetrie. Il gruppo di simmetria dell'icosaedro è quindi fatto di 120 elementi: è isomorfo al prodotto A_5\times\mathbb Z/_{2\mathbb Z} del gruppo alternante A_5 di ordine 5!/2 = 60 e del gruppo ciclico di ordine 2. Le 60 rotazioni formano il sottogruppo A_5\times\{0\}, isomorfo ad A_5.

Le 60 rotazioni sono di vario tipo:

  1. Rotazione di 360/5 = 72° (cioè 2\pi/5 radianti) intorno ad un asse che unisce i centri di due facce opposte;
  2. Rotazione di 360/3 = 120° (cioè 2\pi/3 radianti) intorno ad un asse che unisce due vertici opposti;
  3. Rotazione di 360/2 = 180° (cioè \pi radianti) intorno ad un asse che unisce i punti medi di due spigoli opposti.

Oltre a queste, vi sono anche le rotazioni ottenute componendo più volte una rotazione lungo lo stesso asse: in questo modo è possibile ad esempio ottenere gli angoli 72°, 144°, 216° e 288° in una rotazione del primo tipo. Quindi vi sono 6\times 4 = 24 rotazioni del primo tipo (4 angoli possibili per ognuna delle 6 coppie di facce opposte), 2\times 10 = 20 rotazioni del secondo tipo (2 angoli 120° e 240° per ognuna delle 12 coppie di vertici opposti) e 15 rotazioni del terzo tipo. In totale, 24 + 20 + 15 = 59 , cui va aggiuntà l'identità per ottenere un totale di 60.

Uno sviluppo del dodecaedro

L'icosaedro ha lo stesso gruppo di simmetrie. Altri solidi hanno questo gruppo di simmetria: tra questi, l'icosaedro troncato, che modellizza il pallone da calcio.

Altre proprietà[modifica | modifica wikitesto]

3-colorazione (del grafo) degli spigoli di un dodecaedro.

Il grafo dei vertici e quello degli spigoli di un dodecaedro sono 3-colorabili, ma non quello delle facce, che è solo 4-colorabile.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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