Apotema (geometria)

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Apothem.svg

In geometria, con riferimento ai poligoni regolari, l'apotema (indicato con a)[1] è il raggio della circonferenza inscritta e corrisponde alla distanza fissa tra l'incentro e ciascuno dei lati. Il rapporto tra apotema e lato è specifico (e fisso) per ciascun poligono regolare e dipende dal numero dei lati. Il suo utilizzo principale è nel calcolo delle aree, combinato al perimetro, in quanto coincide pure con l'altezza degli n triangoli isosceli congruenti in cui è divisibile il poligono

Analogamente, nella geometria solida, il termine indica: nelle piramidi regolari, la distanza del vertice dal lato alla base; nei coni retti, la distanza del vertice da un qualsiasi punto della circonferenza di base.

Nei poligoni regolari[modifica | modifica sorgente]

Apotema in un ottagono

In ogni poligono regolare con n lati l'area totale può essere divisa in n triangoli isosceli uguali, le cui basi coincidono con i lati del poligono stesso e i lati obliqui con i segmenti che congiungono i vertici con l'incentro dello stesso. L'apotema tocca il lato del poligono sempre nel punto medio ed, essendo il raggio dell'incerchio rispetto a questo sempre perpendicolare, coincide con l'altezza del triangolo isoscele, la cui ampiezza al vertice misura una frazione esatta dell'angolo giro fratto n.

Se ne può ricavare, quindi, che il rapporto fra l'apotema e il lato di un poligono regolare n-agonale è sempre costante, e può essere ricavato a priori semplicemente sapendo il numero di lati attraverso le relazioni trigonometriche che legano gli elementi del triangolo. In questo caso trattandosi di un triangolo isoscele, l'apotema corrisponde a un cateto di un triangolo rettangolo avente come altro cateto il semilato (l/2) del poligono e per ipotenusa il circumraggio e angolo adiacente α pari a π/n.

\begin{align}
a_n &= \frac{l}{2\tan{\frac{\pi}{n}}} \\
a_n &= R \cos{\frac{\pi}{n}}
\end{align}

Inoltre, grazie alla divisione in triangoli, è anche possibile capire come l'apotema faciliti notevolmente il calcolo delle aree in questi casi; basta infatti calcolare l'area del singolo triangolo e poi moltiplicarla per il numero dei lati.

A_n = n\frac{l \cdot a_n}{2} oppure A_n = s \cdot a_n

dove s rappresenta il semiperimetro.

Numeri fissi[modifica | modifica sorgente]

Dall'apotema derivano classicamente anche due numeri fissi, che sono vere e proprie costanti tipiche di ciascun poligono e dipendenti unicamente dal numero dei lati.

  • fn il rapporto apotema/lato pari a  \frac{1}{2\tan{(\frac{\pi}{n})}}
  • jn il rapporto fra l'area del poligono e il quadrato del lato  \frac{n f_n}{2}
Poligono n fn jn
Triangolo 3 0,289 0,433
Quadrato 4 0,5 1
Pentagono 5 0,688 1,720
Esagono 6 0,866 2,598
Ettagono 7 1,038 3,634
Ottagono 8 1,207 4,828
Ennagono 9 1,374 6,182
Decagono 10 1,539 7,694
Endecagono 11 1,703 9,366
Dodecagono 12 1,866 11,196
Tridecagono 13 2,029 13,186
Tetradecagono 14 2,191 15,335
Pentadecagono 15 2,352 17,642
Esadecagono 16 2,514 20,109
Ettadecagono 17 2,675 22,736
Ottadecagono 18 2,836 25,521
Ennadecagono 19 2,996 28,465
Icosagono 20 3,157 31,569

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Il simbolo a è molto diffuso nei testi di geometria delle scuole elementari e medie, ma data la coincidenza talvolta dell'apotema con l'inraggio può capitare che sia indicato con il simbolo di quest'ultimo r

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]


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