Piramide (geometria)

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Geometria della piramide
S = vertice; SO = altezza

In geometria si definisce piramide un poliedro individuato da una faccia poligonale chiamata base e da un vertice che non giace sul piano della base e che talora viene chiamato apice della piramide. Sono suoi spigoli i lati del poligono di base e i segmenti delimitati dall'apice e da ciascuno dei vertici della base. Sono facce della piramide la sua base e le facce triangolari (chiamate facce laterali) che hanno come vertice il suo apice.

Definizioni[modifica | modifica sorgente]

Una piramide avente come base un poligono di n lati (n = 3, 4, ...) si dice piramide n-gonale ed ha n+1 facce, 2n spigoli ed n+1 vertici.

Si dice altezza di una piramide il segmento che ha una estremità nell'apice e cade ortogonalmente sul piano contenente la base.
Le piramidi possono essere rette: nella base può essere inscritto un cerchio e il piede dell'altezza risiede nel centro di quel cerchio.
In una piramide retta si dice apotema ogni segmento che congiunge perpendicolarmente il suo apice con un suo lato di base, ovvero la loro lunghezza comune. Si dice apotema di base il raggio del cerchio inscritto nel poligono di base.
Una piramide è convessa se e solo se il poligono di base è convesso. Talora viene chiamata piramide obliqua una piramide la cui altezza cade al di fuori del poligono di base (o del suo inviluppo convesso).
Le piramidi più considerate sono quelle che hanno per base un poligono regolare e la cui altezza cade nel centro di tale poligono. Una tale piramide talora viene detta piramide simmetrica(o piramide regolare); essa in effetti ha la simmetria, elevata, del poligono di base. Spesso per piramide si intende, per antonomasia, una piramide simmetrica a base quadrata.

Le uniche piramidi che sono anche poliedri regolari sono i tetraedri che hanno base e facce laterali triangolari e tutte uguali.

Secando una piramide K con un piano parallelo alla base di K, e conservando la parte compresa tra il piano della base e quello della sezione, si ha la cosiddetta piramide tronca (o tronco di piramide). In questo modo, tra il piano della base e quello della sezione intercorre una corrispondenza biunivoca, detta omotetia.
Le facce laterali della piramide tronca sono dei trapezi.

Misure della piramide[modifica | modifica sorgente]

Area[modifica | modifica sorgente]

L'area laterale per le piramidi rette è A = (p di base X apotema)/2 L'area totale si calcola come: Area di base + Area laterale.

Volume[modifica | modifica sorgente]

Il volume di una piramide generica è uguale ad un terzo del prodotto dell'area della base per la misura dell'altezza. Detto V il volume, B l'area di base e h l'altezza, si calcola come:
V=\frac{B\ h}{3}
Cioè il volume della piramide è 1/3 di quello di un prisma con uguale altezza e base. Questa formula costituiva il teorema 7 del libro XII degl "Elementi" di Euclide ed era dimostrata con il metodo di esaustione (oggi diremmo con il calcolo infinitesimale).

Cubo diviso in tre piramidi uguali.
Cubo esploso. Volume di una piramide uguale ad un terzo del cubo.

È possibile visualizzare una dimostrazione grafica del fatto che una piramide occupa un terzo del volume del prisma che la contiene. La cosa è particolarmente semplice partendo da un cubo e dividendolo in tre piramidi uguali, come si vede nella figura a lato.
Da un vertice del cubo si tracciano le quattro diagonali che uniscono il vertice alle tre facce opposte.
Nel caso della figura, si vede il vertice in alto in primo piano che va a congiungersi con la faccia di fondo, la faccia sul retro e la faccia laterale. Si formano tre piramidi, ciascuna con base (quadrata) coincidente con una faccia (nascosta) del cubo, con due delle facce laterali (ciascuna coincidente con mezza faccia del cubo) costituite da triangoli rettangoli ortogonali alla base, e con le altre due facce (interne al cubo), delimitate dalle diagonali di faccia e dalla diagonale principale del cubo.
L'altezza di ciascuna piramide coincide con un lato del cubo.
Si vede dunque che le tre piramidi sono esattamente uguali e insieme costituiscono il cubo di partenza.
Quindi hanno un volume pari ad 1/3 di quello del cubo.
Per estendere il risultato ad una piramide di forma qualsiasi, ed anche al volume del cono rispetto al cilindro che lo contiene, si può far ricorso al principio di Cavalieri.

Note[modifica | modifica sorgente]

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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