Metodo di esaustione

L'area del cerchio è determinata costruendo una successione di poligoni che assomigliano sempre di più al cerchio. Ad esempio, una successione di poligoni regolari con numero crescente di lati: in figura, un pentagono, un esagono e un ottagono. A seconda che si scelgano poligoni iscritti o circoscritti nella circonferenza, l'area di questa risulterà essere approssimata inferiormente o superiormente. Entrambe le scelte portano comunque al limite all'area del cerchio.

Il metodo di esaustione è un procedimento utile a calcolare aree di varie figure geometriche piane. Consiste nella costruzione di una successione di poligoni che convergono alla figura data. L'area della figura risulta essere quindi il limite delle aree dei poligoni.

Cenni storici

Il sofista Antifonte (430 a.C.) tentò di determinare l'area del cerchio inscrivendovi dei triangoli sempre più piccoli, fino a quando la sua area non "esaurisce".

Un più famoso esempio di applicazione del metodo di esaustione è quello della quadratura del cerchio effettuata da Archimede. Egli però utilizzò due metodi, quello di esaustione, inscrivendo poligoni regolari su di un cerchio di raggio unitario, e il metodo di compressione, circoscrivendo cioè i poligoni al cerchio.
In questo modo all'aumentare del numero dei lati dei poligoni le figure tenderanno ad avvicinarsi alla forma del cerchio, tanto che egli ottenne una misura abbastanza precisa del π.

Il metodo di esaustione venne descritto all'interno del Metodo, un libro di Archimede in cui spiega questo procedimento. Esso è alla base del concetto di integrale di una funzione sviluppato nel Seicento da Newton e Leibniz.

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