Ottaedro

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Ottaedro
120px-Octahedron-slowturn.gif
Tipo Solido platonico
Forma facce Triangoli
Nº facce 8
Nº spigoli 12
Nº vertici 6
Valenze vertici 4
Gruppo di simmetria  S_4 \times \mathbb Z_2
Duale Cubo
Proprietà non chirale

In geometria solida, l'ottaedro è un poliedro con otto facce triangolari. L'ottaedro regolare è uno dei cinque solidi platonici, le cui facce sono triangoli equilateri. Ha sei vertici e dodici spigoli.

Area e volume[modifica | modifica wikitesto]

L'area  A di superficie e il volume V dell'ottaedro regolare il cui spigolo ha lunghezza a sono date da:

A=2\sqrt{3}a^2 \approx 3.46410162a^2
V=\frac{1}{3} \sqrt{2}a^3 \approx 0.471404521a^3

Il volume è 4 volte quello di un tetraedro regolare con spigoli di lunghezza a, mentre l'area di superficie è il doppio (poiché è formata da 8 triangoli equilateri, contro i 4 del tetraedro)

L'angolo diedrale dell'otteadro regolare è arc cos(-1/3), pari approssimativamente a 109.47122°.

Coordinate cartesiane[modifica | modifica wikitesto]

Uno sviluppo dell'ottaedro.

Un ottaedro regolare nello spazio euclideo \R^3 può essere traslato in modo da avere il centro nell'origine, e dopo opportune rotazioni e similitudine ha i 6 vertici in

(\pm 1,0,0),
(0,\pm 1, 0),
(0, 0, \pm 1).

La costruzione di Euclide[modifica | modifica wikitesto]

Fig. 1: determinazione dello spigolo AC dell'ottaedro inscritto nella sfera di diametro AB
Fig. 2: costruzione dell'ottaedro

Nel libro XIII dei suoi Elementi, Euclide descrive il metodo per inscrivere un ottaedro regolare in una sfera di diametro dato. La costruzione descritta da Euclide è la seguente:

Sia AB (vedi Fig. 1) il diametro della sfera data; si trovi il suo punto medio D e si tracci un semicerchio di centro D e raggio DA. Si alzi la perpendicolare da D, determinare il punto C sulla circonferenza e infine si congiungano i punti AC e CB.

Si replichi la stessa costruzione sui tre piani passanti per AB con angolo diedro di 90°, 180° e 270° rispetto al piano iniziale (Fig. 2). Si traccino infine le congiungenti fra i punti CE, EF, FG e GC.

È chiaro che i vertici A, C, E, F e G si trovano sulle semicirconferenze costruite sul diametro AB, quindi si trovano tutti sulla superficie della sfera di pari diametro. Per costruzione gli spigoli che partono dai vertici A e B sono uguali fra loro; ma anche gli spigoli CE, EF, FG e GC hanno la stessa lunghezza: infatti tutti gli spigoli dell'ottaedro risultano essere ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti sono raggi della sfera.

Per quanto riguarda il rapporto fra diametro della sfera spigolo dell'ottaedro inscritto, per il teorema di Pitagora il quadrato costruito sullo spigolo è doppio del quadrato costruito sul raggio della sfera; di conseguenza il quadrato costruito sul diametro è doppio del quadrato costruito sullo spigolo.

Poliedro duale[modifica | modifica wikitesto]

Il poliedro duale dell'ottaedro regolare è il cubo.

Simmetrie[modifica | modifica wikitesto]

L'ottaedro ha 24 simmetrie rotazionali, cioè che preservano l'orientazione dello spazio, più altre 24 simmetrie che non la preservano. Il gruppo di simmetria dell'ottaedro consta quindi di un totale di 48 elementi.

Il sottogruppo dato dalle 24 rotazioni è isomorfo al gruppo S_4 delle permutazioni di 4 elementi. Vi è infatti esattamente una rotazione che realizza ogni possibile permutazione delle 4 coppie di facce opposte.

Il gruppo totale di simmetria è isomorfo al prodotto S_4\times\mathbb Z/_{2\mathbb Z} di S_4 con un gruppo ciclico con 2 elementi.

Tassellazioni[modifica | modifica wikitesto]

Una tassellazione dello spazio con ottaedri e tetraedri.
Dettaglio della tassellazione.

L'ottaedro regolare non genera da solo una tassellazione dello spazio, perché i suoi angoli diedrali non sono divisori di 360°. Ne genera una però in combinazione con il tetraedro, come mostrato in figura.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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