Poliedro duale

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Il duale di un tetraedro è un altro tetraedro

In geometria, il poliedro duale di un poliedro  P è un altro poliedro  Q , ottenuto scambiando i ruoli dei vertici e delle facce di  P . Il duale di  Q è di nuovo  P .

Se  P e  Q hanno la stessa struttura combinatoria,  P è detto autoduale. Fra i 5 solidi platonici, il tetraedro è autoduale, mentre cubo e ottaedro sono uno duale dell'altro; anche icosaedro e dodecaedro sono uno duale dell'altro.

Il duale di un solido archimedeo è un solido di Catalan.

Definizioni[modifica | modifica wikitesto]

Non esiste una definizione univoca di poliedro duale che funzioni per tutti i poliedri. Vi sono due nozioni, una combinatoria e l'altra metrica, che sono generalmente coincidenti nei poliedri più regolari.

Dualità combinatoria[modifica | modifica wikitesto]

Dal punto di vista combinatorio, due poliedri P e Q sono duali se esiste una corrispondenza biunivoca T fra gli insiemi di vertici, spigoli e facce di P e Q che inverte le adiacenze. Più precisamente:

  1. T associa rispettivamente ad un vertice, spigolo o faccia di P una faccia, spigolo o vertice di Q;
  2. Una faccia F di P incide su uno spigolo S se e solo se lo spigolo T(S) incide sul vertice T(F); viceversa, uno spigolo S incide su un vertice V di P se e solo se la faccia T(V) incide su T(S).

Questa dualità è detta dualità combinatoria. La dualità combinatoria non tiene conto delle grandezze metriche dei poliedri, e cioè dei loro volumi, delle lunghezze dei loro spigoli, o degli angoli formati da questi.

Se P è un poliedro convesso, un duale combinatorio è ottenuto scegliendo un vertice all'interno di ogni faccia e prendendo l'inviluppo convesso di questi punti. Dal punto di vista metrico il duale dipende dalla scelta dei punti, ma non dal punto di vista combinatorio.

Dualità metrica[modifica | modifica wikitesto]

Dal punto di vista metrico, due poliedri P e Q sono duali se sono ottenuti l'uno dall'altro tramite inversione lungo una sfera S. In questo caso si parla di dualità metrica.

Molti solidi, come i solidi regolari o i solidi archimedei, hanno un "centro" O. In questo caso, il duale del solido è generalmente considerato il duale metrico secondo una qualsiasi sfera centrata in O. Sfere con raggi diversi danno luogo a poliedri simili: il poliedro duale è quindi ben definito metricamente solo a meno di similitudine.

Poliedri duali[modifica | modifica wikitesto]

Solidi platonici[modifica | modifica wikitesto]

solido duale
tetraedro Tetrahedron.jpg tetraedro Tetrahedron.jpg
cubo Hexahedron.jpg ottaedro Octahedron.jpg
icosaedro Icosahedron.svg dodecaedro Dodecahedron.svg

Solidi archimedei[modifica | modifica wikitesto]

solido duale
tetraedro troncato Truncatedtetrahedron.jpg triacistetraedro Triakistetrahedron.jpg
cubo troncato Truncatedhexahedron.jpg triacisottaedro Triakisoctahedron.jpg
ottaedro troncato Truncatedoctahedron.jpg tetracisesaedro Tetrakishexahedron.jpg
cubottaedro Cuboctahedron.svg dodecaedro rombico Rhombicdodecahedron.jpg
rombicubottaedro Rhombicuboctahedron.jpg icositetraedro trapezoidale Deltoidalicositetrahedron.jpg
cubottaedro troncato Truncatedcuboctahedron.jpg esacisottaedro Disdyakisdodecahedron.jpg
cubo simo Snubhexahedroncw.jpg icositetraedro pentagonale Pentagonalicositetrahedroncw.jpg
dodecaedro troncato Truncateddodecahedron.jpg triacisicosaedro Triakisicosahedron.jpg
icosaedro troncato Truncatedicosahedron.jpg pentacisdodecaedro Pentakisdodecahedron.jpg
icosidodecaedro Icosidodecahedron.jpg triacontaedro rombico Rhombictriacontahedron.jpg
rombicosidodecaedro Rhombicosidodecahedron.jpg esacontaedro trapezoidale Deltoidalhexecontahedron.jpg
icosidodecaedro troncato Truncatedicosidodecahedron.jpg esacisicosaedro Disdyakistriacontahedron.jpg
dodecaedro simo Snubdodecahedronccw.jpg esacontaedro pentagonale Pentagonalhexecontahedroncw.jpg

Alcuni poliedri non convessi[modifica | modifica wikitesto]

solido duale
piccolo dodecaedro stellato SmallStellatedDodecahedron.jpg grande dodecaedro GreatDodecahedron.jpg
grande dodecaedro stellato GreatStellatedDodecahedron.jpg grande icosaedro GreatIcosahedron.jpg

Dualità fra sfere geodetiche[modifica | modifica wikitesto]

sfera geodetica come triangolazione Geode10.png sfera geodetica simile ad un'arnia Geodeduale.png

Dualità dei solidi platonici[modifica | modifica wikitesto]

duale del cubo duale dell'ottaedro
Il duale del cubo è l'ottaedro Il duale dell'ottaedro è il cubo
duale del dodecaedro duale dell'icosaedro
Il duale del dodecaedro è l'icosaedro Il duale dell'icosaedro è il dodecaedro

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]


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