Rotazione (matematica)

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Una sfera che ruota intorno a un asse

In matematica, e in particolare in geometria, una rotazione è una trasformazione del piano o dello spazio euclideo che sposta gli oggetti in modo rigido e che lascia fisso almeno un punto (l'origine dello spazio). I punti che restano fissi nella trasformazione formano un sottospazio: quando questo insieme è un punto (l'origine) o una retta, si chiama rispettivamente il centro e l'asse della rotazione.

Più precisamente, una rotazione è una isometria di uno spazio euclideo che ne preserva l'orientazione, ed è descritta da una matrice ortogonale speciale.

Qualunque sia il numero delle dimensioni dello spazio di rotazione, gli elementi della rotazione sono:

  1. il verso (orario-antiorario);
  2. l'ampiezza dell'angolo di rotazione;
  3. il centro di rotazione (il punto attorno a cui avviene il movimento rotatorio).

Due dimensioni[modifica | modifica wikitesto]

Rotazione antioraria nel piano
Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi isometria del piano.

In due dimensioni, una rotazione è una trasformazione R(\theta), che dipende da un angolo \theta, e che trasforma il vettore (x;y) in

\begin{align}
x' &= x\cos\theta - y\sin\theta, \\
y' &= x\sin\theta+y\cos\theta.
\end{align}

Usando la moltiplicazione di matrici la rotazione antioraria può essere descritta così:

 \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} =
 \begin{bmatrix} \cos \theta & - \sin\theta \\ \sin\theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}.

La matrice quadrata presente in questa espressione è una matrice ortogonale speciale di rango 2. Questa trasformazione è chiamata rotazione antioraria di angolo \theta intorno all'origine.

La matrice 2\times 2 che descrive la rotazione è spesso chiamata matrice di rotazione di angolo \theta.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Le formule di rotazione possono essere ottenute ragionando nel modo seguente. Sia P(x;y) un punto qualsiasi e siano \rho e \alpha le sue coordinate polari. Si ha

\begin{align}
x &= \rho\cos\alpha \\
y &= \rho\sin\alpha
\end{align}

il punto P'(x';y'), immagine di P in una rotazione antioraria di un angolo \theta, ha coordinate polari (\rho;\alpha+\theta) (la rotazione oraria dà invece al punto coordinate polari (\rho;\alpha -\theta), essendo equivalente ad una rotazione antioraria di angolo -\theta, con conseguenti modifiche di segni nelle formule ricavate). Le sue coordinate cartesiane sono perciò date dal sistema precedente, ove si ponga \alpha+\theta al posto di \alpha:

\begin{align}
x' &= \rho\cos\left(\alpha + \theta\right) \\
y' &= \rho\sin\left(\alpha + \theta\right).
\end{align}

applicando le formule di addizione di seno e coseno e tenendo conto anche delle formule iniziali, si ottengono le formule di rotazione, infatti:

\begin{align}
x' &= \rho\cos \left(\alpha+\theta\right) &= \rho\left(\cos \alpha \cos \theta - \sin\alpha\sin\theta\right) &= x\cos\theta-y\sin\theta, \\
y' &= \rho\sin\left(\alpha+\theta\right) &= \rho\left(\sin \alpha \cos \theta + \cos \alpha\sin\theta\right) &= x\sin\theta+y\cos\theta.
\end{align}

Nel piano complesso[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Rotazione nel piano complesso e Gruppo circolare.

Una rotazione si esprime in modo più conciso interpretando il piano come piano complesso: una rotazione equivale al prodotto per un numero complesso di modulo unitario.

In questo modo, ad esempio, la rotazione di angolo \theta, con centro nell'origine, si scrive come

\begin{matrix}\rho\colon&\C&\to &\C,& \\ &z&\mapsto & z'&=e^{i\theta}z.\end{matrix}

L'insieme dei numeri complessi con modulo unitario è algebricamente chiuso rispetto al prodotto, formando così un gruppo abeliano, chiamato il gruppo circolare: l'interpretazione complessa delle rotazioni del piano può essere allora espressa come il fatto che il gruppo circolare e il gruppo ortogonale speciale \mathrm{SO}(2) sono isomorfi.

Tre dimensioni[modifica | modifica wikitesto]

Rotazione in un sistema tridimensionale

In tre dimensioni, una rotazione è determinata da un asse, dato da una retta r passante per l'origine, e da un angolo \theta di rotazione. Per evitare ambiguità, si fissa una direzione dell'asse, e si considera la rotazione di angolo \theta effettuata in senso antiorario rispetto all'asse orientato. La rotazione è descritta nel modo più sintetico scrivendo i vettori dello spazio in coordinate rispetto ad una base ortonormale v_1, v_2, v_3, dove v_1 è il vettore di lunghezza uno contenuto in r e avente direzione giusta. La rotazione intorno all'asse x trasforma il vettore di coordinate  (x,y,z) in:

\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{bmatrix} =
 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & -\sin\theta \\ 0 & \sin\theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}.

Senza cambiare base, la rotazione di un angolo \theta intorno ad un asse determinata dal versore (x,y,z) (ossia un vettore di modulo unitario) è descritta dalla matrice seguente:

 \begin{bmatrix}
    x^2 + (1-x^2) \cos \theta 
 & (1 - \cos \theta) x y - (\sin\theta) z 
 & (1 - \cos \theta) x z + (\sin\theta) y  
\\
   (1 - \cos \theta) y x + (\sin\theta) z 
 & y^2 + (1-y^2) \cos \theta 
 & (1 - \cos \theta) y z - (\sin\theta) x
\\
   (1 - \cos \theta) z x - (\sin\theta) y
 & (1 - \cos \theta) z y + (\sin\theta) x
 & z^2 + (1-z^2) \cos \theta 
\end{bmatrix}.

Dimensione arbitraria[modifica | modifica wikitesto]

In uno spazio euclideo di dimensione arbitraria, una rotazione è una trasformazione lineare dello spazio in sé che è anche una isometria, e che mantiene l'orientazione dello spazio. Le matrici n\times n che realizzano queste trasformazioni sono le matrici ortogonali speciali.

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