Simmetria (matematica)

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Simmetrie assiali in figure geometriche piane. L'oggetto senza assi è "asimmetrico".

In matematica, una simmetria è un'operazione che muove o trasforma un oggetto lasciandone però inalterato l'aspetto. L'oggetto può essere ad esempio una figura geometrica o un'equazione.

Esempi di trasformazioni sono le isometrie di figure geometriche come i poligoni o i poliedri (come le riflessioni o rotazioni) oppure le permutazioni delle variabili in una formula o equazione.

Generalmente, le simmetrie di un oggetto formano un gruppo, detto gruppo delle simmetrie.

Simmetria in geometria[modifica | modifica wikitesto]

Una simmetria di una figura geometrica è una trasformazione che lascia la figura invariata. Una tale definizione dipende da cosa si intende per "figura geometrica" e "trasformazione"[1].

In ogni caso, le "trasformazioni" formano un gruppo con l'operazione di composizione, e le simmetrie formano un sottogruppo, detto gruppo delle simmetrie della figura. In altre parole, si verificano i fatti seguenti:

  • fra le simmetrie di un oggetto, c'è sempre l'identità: è la trasformazione che lascia tutti i punti fermi;
  • la composizione di due simmetrie è sempre una simmetria;
  • una simmetria ha sempre una inversa, che è ancora una simmetria.
Gli assi di simmetria di alcuni poligoni. Gli assi hanno sempre un punto in comune.

Punti fissi[modifica | modifica wikitesto]

I punti fissi sono i punti della figura geometrica che restano fermi in una simmetria. Se esiste un solo punto fisso (come accade, ad esempio, in una rotazione nel piano), questo è detto centro della simmetria, mentre se i punti fissi formano una retta (come in una riflessione nel piano, o una rotazione nello spazio) questa è l'asse della simmetria. Alcune trasformazioni (ad esempio le traslazioni) non hanno punti fissi.

Una figura piana può avere più assi di simmetria: in questo caso, questi si intersecano tutti in un punto. Ad esempio, un quadrato ha 4 assi di simmetria, che si intersecano nel centro.

Una figura solida, come un poliedro, può avere degli assi di simmetria (in presenza di rotazioni) o dei piani di simmetria (in presenza di riflessioni). Ad esempio, un parallelepipedo ha almeno 3 assi di simmetria e 3 piani di simmetria.

Geometria euclidea[modifica | modifica wikitesto]

Nella geometria euclidea, una figura geometrica è un qualsiasi sottoinsieme dello spazio euclideo (ad esempio, del piano o dello spazio tridimensionale). Sono quindi figure geometriche ad esempio i poligoni o le coniche nel piano, o i poliedri nello spazio.

La rotazione di 90° è una simmetria del quadrato. Componendola 2 o 3 volte, si ottengono le rotazioni di 180° e 270°. Componendola 4 volte, si ottiene la funzione identità.

Le trasformazioni della geometria euclidea sono le isometrie: ovvero traslazioni, riflessioni, rotazioni, e composizioni di queste. Ciascuna di queste trasformazioni sposta tutti i punti dello spazio, ed in particolare muove la figura geometrica che vi è contenuta.

Ad esempio, fra le simmetrie di un quadrato troviamo la rotazione oraria di 90° intorno al centro, e la riflessione intorno ad un suo asse. Componendo queste due operazioni si ottengono altre simmetrie del quadrato.


Il gruppo delle simmetrie di un poligono regolare con  n lati è un gruppo molto studiato in algebra, detto gruppo diedrale. Ha due generatori: la riflessione  s rispetto ad un asse, e la rotazione oraria  r di  360/n gradi. Componendo le simmetrie  s e  r si ottengono tutte le altre simmetrie, che sono di due tipi:

  • rotazione di  k360/n gradi, per qualche intero  k tra  0 e  n ,
  • riflessione rispetto ad uno degli  n assi della figura.

Il gruppo diedrale, di solito indicato con  D_{2n} , è quindi un gruppo finito di  2n elementi. Non è un gruppo abeliano: infatti gli elementi  r \times s e  s\times r sono simmetrie differenti (entrambe riflessioni, ma con assi diversi).

Le 12 simmetrie di un tetraedro ottenibili tramite rotazioni.

Poliedri[modifica | modifica wikitesto]

Ciascuno dei cinque solidi platonici ha un gruppo di simmetrie: questi gruppi di simmetrie sono degli oggetti di importanza fondamentale nell'algebra e nella geometria moderne, e si ritrovano in molti contesti differenti. Due solidi platonici duali hanno lo stesso gruppo di simmetrie. Tutti questi gruppi di simmetrie sono finiti e non abeliani.

Il gruppo di simmetrie del tetraedro è il più piccolo fra questi. Ogni permutazione dei vertici del tetraedro è realizzata esattamente da una simmetria, quindi il gruppo è isomorfo al gruppo simmetrico  S_4 , che ha 4!=24 elementi. Fra questi, 12 sono realizzabili tramite rotazioni, e corrispondono al sottogruppo alternante  A_4 , formato dalle permutazioni pari.

Coniche[modifica | modifica wikitesto]

Una circonferenza ha una quantità infinita di simmetrie: le rotazioni di un angolo qualsiasi intorno all'origine, e le riflessioni rispetto ad una retta arbitraria, passante per l'origine. Il gruppo di simmetrie di una circonferenza è quindi infinito, ed è isomorfo al gruppo ortogonale  O(2) .

Un'ellisse (che non sia una circonferenza) ha invece molte meno simmetrie: le simmetrie  s e  s' rispetto agli assi, e la loro composizione  s\times s' = s'\times s. Il gruppo di simmetrie consta quindi di 4 elementi \{e,s,s',s\times s'\} , è abeliano ed isomorfo al prodotto diretto \mathbb Z/_{2\mathbb Z}\times \mathbb Z/_{2\mathbb Z} di due gruppi ciclici di ordine 2.

Un'iperbole ha lo stesso gruppo di simmetrie, generato dalle riflessioni sui suoi due assi.

Una parabola ha ancora meno simmetrie: oltre all'identità, una riflessione rispetto al suo asse. Quindi il gruppo di simmetrie è isomorfo a \mathbb Z/_{2\mathbb Z} .

Dimensione arbitraria[modifica | modifica wikitesto]

Il gruppo di simmetrie di una sfera  S^n di dimensione  n è il gruppo ortogonale  O(n) .

Simmetria in algebra[modifica | modifica wikitesto]

Una simmetria in un'espressione matematica (ad esempio una formula o un'equazione) contenente delle variabili è una permutazione di queste che lascia invariata l'espressione. Ad esempio, nel polinomio

\, x^2 + y^2 + z^2

ogni permutazione delle variabili è una simmetria, mentre nell'equazione

\, z=xy

solo la permutazione delle variabili  x e  y è una simmetria.

Anche in questo contesto le simmetrie formano un gruppo, che è sottogruppo del gruppo simmetrico di tutte le permutazioni delle variabili. Se l'espressione ha un numero finito di variabili, tale gruppo è finito. Una espressione qui è un qualsiasi oggetto matematico formale che dipenda da alcune variabili: ad esempio, anche una relazione binaria o una matrice.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Il termine "simmetrico" è usato in matematica in vari contesti, e denota sempre la presenza di una particolare simmetria.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Questa definizione di simmetria è così generale da essere stata interpretata come definizione fondante della geometria in senso lato, da Felix Klein nel suo Erlangen Programm del 1872.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Hermann Weyl, Symmetry. Reprint of the 1952 original. Princeton Science Library. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1989. viii+168 pp. ISBN 0-691-02374-3
  • (EN) Mark Ronan, Symmetry and the Monster, Oxford University Press, 2006. ISBN 978-0-19-280723-6 (Concise introduction for lay reader)

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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