Triangolo equilatero

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Triangolo equilatero

In geometria, un triangolo equilatero è un triangolo con tutti i lati congruenti e dunque è il poligono regolare con tre lati. Gli angoli sono tutti uguali e pari a 60° = \frac{\pi}{3} rad[1].

I triangoli equilateri sono particolari triangoli isosceli. Tutti i triangoli equilateri sono simili tra di loro: per caratterizzare metricamente un triangolo equilatero, ovvero per caratterizzare la classe dei triangoli equilateri nel piano ottenibili gli uni dagli altri mediante traslazioni e rotazioni, serve e basta un parametro estensivo; tipicamente si usa la lunghezza dei suoi lati.

Nei triangoli equilateri, le bisettrici, le mediane, le altezze e gli assi si sovrappongono cosicché lo stesso punto rappresenta l'ortocentro, il baricentro, l'incentro e il circocentro.

Il gruppo delle simmetrie del triangolo equilatero è costituito dall'identità, dalle rotazioni intorno al suo centro di 120° e di 240° e dalle riflessioni rispetto alle bisettrici degli angoli. Tale gruppo è isomorfo al gruppo simmetrico di 3 oggetti S3.

Costruzione[modifica | modifica wikitesto]

Costruzione del triangolo equilatero con riga e compasso

Come mostra Euclide in Elementi I, 1 (è la prima proposizione di tutta l'opera), il triangolo equilatero dato il lato AB si può costruire con riga e compasso in questo modo:

  • Si punta il compasso in A con apertura AB e si traccia una circonferenza;
  • Si punta il compasso in B con apertura BA e si traccia una circonferenza;
  • Il punto d'incontro delle circonferenze C è il terzo punto cercato;
  • Unendo A, B e C si ottiene un triangolo equilatero.

La dimostrazione è semplice: essendo, per definizione, tutti i punti della circonferenza equidistanti dal centro, il segmento AB è congruente ad AC, e AB è congruente a BC. Ma allora per la proprietà transitiva della congruenza, AB = AC = BC e il triangolo è equilatero.

Formule[modifica | modifica wikitesto]

Indicando con l il lato del triangolo, con P il perimetro, con A l'area, con b la base e con h l'altezza si ha:

Perimetro[modifica | modifica wikitesto]


P=l\cdot3

l=\frac{P}{3}

Area[modifica | modifica wikitesto]


A=\frac{b \cdot h}{2}=\frac{l^2}{4}\cdot\sqrt{3}

h=\frac{A \cdot 2}{b}

b=\frac{A \cdot 2}{h}

Applicazioni del Teorema di Pitagora[modifica | modifica wikitesto]


h=\sqrt{l^2-\left(\frac{l}{2}\right)^2}=\sqrt{l^2-{\frac{l^2}{4}}}=\sqrt{\frac{4l^2-l^2}{4}}=\sqrt{\frac{3l^2}{4}}=\frac{\sqrt{l^2}\cdot{\sqrt{3}}}{\sqrt{4}}=\frac{{l}\cdot{\sqrt{3}}}{2} = \frac{l}{2}\sqrt{3}

l=\frac{2h}{\sqrt{3}}

Circonferenza inscritta e circoscritta[modifica | modifica wikitesto]

Il centro geometrico del triangolo è il centro delle circonferenze iscritta e circoscritta al triangolo equilatero
Il raggio della circonferenza circoscritta è R=\frac{\sqrt{3}}{3} l
da cui l=R \sqrt{3}
Il raggio della circonferenza inscritta è r=\frac{\sqrt{3}}{6} l
da cui R=2 \cdot r
Area (noto R) A=\frac{3 \cdot R^2}{4} \cdot \sqrt{3}

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Questo avviene solo nella geometria euclidea, dove la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale all'angolo piatto. Dunque 180°÷3=60°

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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