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Radiante

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Un angolo misurato in radianti.

Il radiante (generalmente indicato rad quando necessario), è l'unità di misura dell'ampiezza degli angoli del Sistema internazionale di unità di misura. Tale misura rappresenta il rapporto tra la lunghezza dell'arco di circonferenza tracciato dall'angolo e la lunghezza del raggio di tale circonferenza; essendo il rapporto tra due grandezze omogenee è un numero puro.

Definizione di radiante[modifica | modifica wikitesto]

Un arco di un cerchio della stessa lunghezza del raggio dello stesso cerchio corrisponde a un angolo di 1 radiante. Un cerchio intero corrisponde a un angolo di 2π radianti.
Alcuni angoli misurati in radianti

Si prenda una circonferenza con centro nel vertice dell'angolo e il suo arco intercettato dalle due semirette che formano l'angolo. Chiameremo l la lunghezza di tale arco, r quella del raggio, c quella della circonferenza e \alpha l'ampiezza dell'angolo descritto dall'arco.

\alpha^{\mathrm{rad}} = \frac{l}{r}

l = r \cdot \alpha^{\mathrm{rad}}

Da ciò si evince che il radiante è un numero puro, ossia è adimensionale, dato che esprime il rapporto fra due lunghezze.

Infatti: [rad] = [m] / [m] = [1].

Definiamo come radiante l'ampiezza dell'arco di circonferenza che, rettificato, sia uguale al raggio della circonferenza stessa. In parole povere un radiante è l'angolo che si ha in corrispondenza di un arco di lunghezza pari al raggio della circonferenza.

Essendo la lunghezza della circonferenza c pari a 2\pi r e il raggio lungo r, l'angolo di un cerchio equivale a 2\pi.

\alpha=\frac{2\pi r}{r}=2\pi

Ricordando che la misura della lunghezza della circonferenza è:

c = 2 \pi r \

si può scrivere la seguente proporzione:

\frac{\alpha^{(\circ)}}{l} = \frac{360^\circ}{2\pi r}

α risulta funzione di l :

\alpha ^{(\circ)} = f \left( l \right)

ovvero

\alpha ^{(\circ)} (l) = \frac{360^\circ \cdot l}{2\pi r}

da cui

\alpha ^{(\circ)} (l) = \frac{l}{r} \cdot \frac{360^\circ }{2\pi}

Dunque, ponendo = r, dall'equazione precedente si ottiene:

\alpha ^{(\circ)} (l = r) = \frac{360^\circ }{2\pi} \approx 57{,}29578^\circ \approx 57^\circ \ 17' \ 44{,}8'' = 1\;\mbox{rad}

Esprimiamo ora un angolo giro in radianti:

360^\circ = \frac{2\pi }{2\pi} \cdot  360^\circ = 2\pi \cdot \frac{360^\circ }{2\pi} =  2\pi\;\mbox{rad}

Con la seguente proporzione si ottengono le formule per passare da radianti a gradi sessagesimali e viceversa:

\frac{\alpha^{(\circ)}}{\alpha^{\mathrm{rad}}} = \frac{360^\circ}{2\pi}
\alpha ^{(\circ)} = \frac{360^\circ}{2\pi} \cdot \alpha^{\mathrm{rad}}
\alpha^{\mathrm{rad}} = \frac{2\pi }{360^\circ} \cdot \alpha ^{(\circ)}

Utilità della scelta del radiante[modifica | modifica wikitesto]

La misura del radiante consente di avere formule trigonometriche molto più semplici di quelle che si avrebbero adottando i gradi sessagesimali o altre unità di misura degli angoli.

Sostanzialmente i vantaggi del radiante derivano dal fatto che, con tale unità si ottiene la semplice espressione

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\mathrm{sen} \, x}{x}=1

e da questa si ottengono molte altre eleganti identità del calcolo infinitesimale che hanno importanti conseguenze pratiche. Tra queste

 \frac{d}{dx} \mathrm{sen} \, x = \cos x
 \mathrm{sen} \, x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!} - ...
 \cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!} - ... .

Se si misurassero gli angoli in gradi o in altre unità di misura, formule come le precedenti dovrebbero essere infarcite da costanti di conversione e da loro potenze.

Conversione gradi-radianti[modifica | modifica wikitesto]

Schema per la conversione gradi-radianti

Un radiante è pari a 180/π gradi. Per convertire radianti in gradi è quindi sufficiente moltiplicare per 180/π:

 \alpha ^{(\circ)} = \alpha^{(\mathrm{rad})} \cdot \frac {180^\circ} {\pi}

Ad esempio:

1 \mbox{ rad} = 1 \cdot \frac {180^\circ} {\pi} \approx 57{,}2958^\circ
2{,}5 \mbox{ rad} = 2{,}5 \cdot \frac {180^\circ} {\pi} \approx 143{,}2394^\circ
\frac {\pi} {3} \mbox{ rad} = \frac {\pi} {3} \cdot \frac {180^\circ} {\pi} = 60^\circ

Analogamente, per convertire gradi in radianti si moltiplica per π/180:

 \alpha^{(\mathrm{rad})} = \alpha ^{(\circ)} \cdot \frac {\pi} {180^\circ}

Ad esempio:

1^\circ = 1 \cdot \frac {\pi} {180^\circ} \approx 0{,}0175 \mbox{ rad}
23^\circ = 23 \cdot \frac {\pi} {180^\circ} \approx 0{,}4014 \mbox{ rad}
gradi radianti
0 0
15 π /12
30 π /6
45 π /4
60 π /3
90 π /2
120 2/3 π
135 3/4 π
150 5/6 π
gradi radianti
180 π
210 7/6 π
225 5/4 π
240 4/3 π
270 3/2 π
300 5/3 π
315 7/4 π
330 11/6 π
360

Si ha quindi:

1 rad = 57,29577 95131 gradi = 3437,74677 07849 primi = 206264,80625 secondi
1 grado = 0,01745 32925 19943 rad;
1 primo = 0,00029 08882 08666 rad
1 secondo = 0,00000 48481 36811 rad

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • G.Zwirner, L. Scaglianti, Itinerari di Matematica Volume primo, Padova, Cedam, 1989, ISBN 88-13-16794-6

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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