Mediana (geometria)

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Mediane e baricentro di un triangolo

In un triangolo, la mediana è un segmento che congiunge un vertice al punto medio del lato opposto.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Alcune proprietà della mediana:

I. Il triangolo viene diviso dalla mediana in due triangoli aventi la stessa superficie e tutte le altre rette che dividono il triangolo in due parti di ugual superficie passano per il baricentro.

II. Le tre mediane di un triangolo si intersecano in un punto chiamato baricentro o centro di massa (per una dimostrazione si veda per esempio il Teorema di Ceva).

III. Ogni mediana giace per due terzi della propria lunghezza fra il vertice e il baricentro, mentre l'altro terzo si trova fra il baricentro e il punto medio del lato opposto.

La terza proprietà non è immediata. In riferimento alla figura sottostante, provo che BG=2GB '. Siano D ed E rispettivamente i punti medi dei segmenti BG e CG. Quindi BD=DG (1) e CE=EG. Applicando il Teorema di Talete al triangoloABC tagliato dalla retta passante per B ' e C ' ho che

B'C'=\frac{1}{2}BC.

Applicando il Teorema di Talete al triangolo GBC tagliato dalla retta passante per D ed E ho che

DE=\frac{1}{2}BC.

Quindi DEB 'C ' è un parallelogramma. In un parallelogramma le diagonali si tagliano scambievolmente a metà, quindi DG=GB ' (2). Si conclude osservando che per (1) e (2) si ha BG=BD+DG=2DG=2GB '. Analogo ragionamento per le altre due mediane.

Mediane dim.JPG

Lunghezza delle mediane[modifica | modifica wikitesto]

La lunghezza della mediana può essere ottenuta grazie al teorema della mediana. Usando la notazione standard per gli elementi di un triangolo e con m_a, m_b, m_c le mediane uscenti rispettivamente dai vertici A, B, C, si ha che:

  • m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}
  • m_b=\frac{1}{2}\sqrt{2(a^2+c^2)-b^2}
  • m_c=\frac{1}{2}\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}

Dimostrazione: Sia A' il punto medio del lato BC. Considero i triangoli ABA' e AA'C. Per la prima proprietà essi sono equivalenti, quindi hanno medesima area, cioè ABA'=AA'C. Calcolando l'area dei due triangoli applicando la Formula di Erone (conviene la seconda forma proposta) ottengo il primo enunciato. Ragionamento analogo per gli altri due.

Matematica

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