Triangolo isoscele

Triangolo Isoscele

Si definisce triangolo isoscele un triangolo che possiede almeno due lati uguali o un triangolo che possiede almeno due angoli uguali. Infatti vale il seguente Teorema: Un triangolo ha due lati uguali solo se ha due angoli uguali.

Questo teorema costituisce la quinta proposizione del Libro I degli Elementi di Euclide ed è noto come Pons asinorum, ponte degli asini.

Particolari triangoli isosceli sono i triangoli equilateri e i triangoli rettangoli isosceli. Esistono anche triangoli isosceli acutangoli e ottusangoli.

I triangoli isosceli rettangoli sono tutti simili tra di loro, come i triangoli equilateri.

Simmetrie

Un triangolo isoscele che non sia equilatero è invariante solo per la riflessione rispetto alla bisettrice dell'angolo diverso dai due rimanenti. Il suo gruppo di simmetria, oltre alla trasformazione identità, comprende solo questa riflessione e quindi è isomorfo al gruppo di due elementi, ovvero al gruppo moltiplicativo sull'insieme {1, −1}.

Triangoli isosceli in geometria analitica

Teorema 1: Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo con la base parallela agli assi sia isoscele è che abbia i due lati di coefficiente angolare opposto.

Dimostrazione.

Date le tre rette

1. $y = k$
2. $y = mx$
3. $y = -mx$

ne calcoliamo l'intersezione.

$\left\{\begin{array}{rl}&y = k\\&y = mx\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{rl}&x = \frac{k}{m}\\&y = m\end{array}\right.$

$A (\frac{k}{m}, m)$

$\left\{\begin{array}{rl}&y = k\\&y = -mx\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{rl}&x = -\frac{k}{m}\\&y = m\end{array}\right.$

$B (-\frac{k}{m}, m)$

$\left\{\begin{array}{rl}&y = mx\\&y = -mx\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{rl}&x = 0\\&y = 0\end{array}\right.$

${\rm C}(0, 0)$

Ora calcoliamo la distanza dei segmenti AC e BC.

$AC = \sqrt{(\frac{k}{m})^{2} + k^{2}}$

$BC = \sqrt {(-\frac{k}{m})^{2} + k^{2}}$

Quindi il triangolo è isoscele sulla base AB. In modo analogo si dimostra il caso della base parallela all'asse y.

Viceversa costruiamo un triangolo isoscele con la base parallela all'asse delle ascisse.

Dati i due punti:

1. ${\rm A} (x_1, k)$

1. ${\rm B} (x_2, k)$

poiché il vertice di un triangolo isoscele giace sulla stessa retta del punto medio della base, prima troviamo $M$ e poi $C$.

$M (\frac{x_1 + x_2}{2}, k)$

Quindi troviamo $C$, che avrà la stessa ascissa di $M$ e diversa ordinata.

$C (\frac{x_1 + x_2}{2}, h)$

Verifichiamo che il triangolo è isoscele:

$AC = \sqrt{(\frac{x_1 - x_2}{2})^{2} + (k - h)^{2}}$

$BC = \sqrt{(\frac{x_2 - x_1}{2})^{2} + (k - h)^{2}}$

Ora calcoliamo il coefficiente angolare dei due lati:

$m AC = (h - k) \cdot (\frac{2}{x_2 - x_1}) = \frac{2(h - k)}{x_2 - x_1}$

$m BC = (h - k) \cdot (\frac{2}{x_1 - x_2}) = \frac{2(h - k)}{x_1 - x_2}$

Teorema 2: Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo con la base parallela alla bisettrice di due quadranti sia isoscele è che abbia i due lati di coefficiente angolare inverso..

Dimostrazione.

Date le tre rette

1. $y = x + q$
2. $y = mx$
3. $y = \frac{1}{m}x$

ne calcoliamo l'intersezione.

$\left\{\begin{array}{rl}&y = x + q\\&y = mx\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{rl}&x (m - 1)= q\\&y = mx\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{rl}&x = \frac{q}{m - 1}\\&y = \frac{mq}{m - 1}\end{array}\right.$

$A (\frac{q}{m - 1}, \frac{mq}{m - 1})$

$\left\{\begin{array}{rl}&y = x + q\\&y = \frac{1}{m}x\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{rl}&x (1 - m)= mq\\&y = \frac{1}{m}x\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{rl}&x = \frac{mq}{1 - m}\\&y = \frac{q}{1 - m}\end{array}\right.$

$B (\frac{mq}{1 - m}, \frac{q}{1 - m})$

$\left\{\begin{array}{rl}&y = \frac{1}{m}x\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{rl}&x = 0\\&y = 0\end{array}\right.$

${\rm C}(0, 0)$

Ora calcoliamo la distanza dei segmenti AC e BC.

$AC = \sqrt{(\frac{q}{m-1})^{2} + (\frac{mq}{m-1})^{2}}$

$BC = \sqrt {(\frac{mq}{1-m})^{2} + (\frac{q}{1-m})^{2}}$

Quindi il triangolo è isoscele sulla base AB. In modo analogo si dimostra il caso della base parallela all'asse y.

Viceversa costruiamo un triangolo isoscele con la base parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante. (Lo stesso vale per quella parallela alla bisettrice del secondo e quarto quadrante).

Dati i due punti:

1. ${\rm A} (0, q)$

1. ${\rm B} (-q, 0)$

poiché il vertice di un triangolo isoscele giace sulla stessa retta del punto medio della base, prima troviamo $M$ e poi $C$.

$M (-\frac{q}{2}, \frac{q}{2})$

Quindi troviamo $C$, che si trova sulla retta perpendicolare alla base e passante per $M$, $y = -x$.

$C (h, -h)$ dove h è un numero arbitrario diverso da 0.

Verifichiamo che il triangolo è isoscele:

$AC = \sqrt{h^{2} + (q + h)^{2}}$

$BC = \sqrt{(-q -h)^{2} + h^{2}}$

Ora calcoliamo il coefficiente angolare dei due lati:

$m AC = \frac{-h - q}{h} = -\frac{h + q}{h}$

$m BC = \frac{-h}{h + q} = -\frac{h}{h + q}$

Voci correlate

• Triangolo
• Triangolo equilatero
• Triangolo scaleno
• Teorema diretto dei triangoli isosceli

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