Triangolo isoscele

Triangolo Isoscele

Si definisce triangolo isoscele un triangolo che possiede almeno due lati uguali o un triangolo che possiede almeno due angoli uguali. Infatti vale il seguente Teorema: Un triangolo ha due lati uguali solo se ha due angoli uguali.

Questo teorema costituisce la quinta proposizione del Libro I degli Elementi di Euclide ed è noto come Pons asinorum, ponte degli asini.

Particolari triangoli isosceli sono i triangoli equilateri e i triangoli rettangoli isosceli. Esistono anche triangoli isosceli acutangoli e ottusangoli.

I triangoli isosceli rettangoli sono tutti simili tra di loro, come i triangoli equilateri.

Classificazione dei triangoli isosceli

Ogni trasformazione di similitudine trasforma un triangolo isoscele in un altro triangolo isoscele. Come tutte le figure piane, anzi come tutte le figure geometriche collocabili in uno spazio euclideo, con la precedente caratteristica i triangoli isosceli si possono opportunamente ripartire in classi di similitudine.

Ad una tale classe appartengono i triangoli caratterizzati dalle due ampiezze d'angolo α, ampiezza dell'angolo opposto al lato BC diverso dagli altri due, e β, ampiezza dei due angoli adiacenti al lato BC; evidentemente deve valere l'uguaglianza α = π − 2β. Quindi le classi di similitudine si possono distinguere mediante la sola ampiezza d'angolo α variabile tra 0 e π. Denotiamo la classe individuata dalla ampiezza α con TrIs_α. Quando α = π/3 si ha la classe particolare dei triangoli equilateri; a sua volta la classe TrIs_π/2 è costituita dai triangoli isosceli rettangoli.

La classe TrIs_α è costituita dai triangoli aventi un lato di lunghezza L, arbitrario numero reale positivo, e gli altri due lati di lunghezza L / sin(α/2). Come triangoli rappresentativi delle classi TrIs_α si possono assumere i triangoli con L = 1.

Per α > π/2 TrIs_α è costituita dai triangoli isosceli ottusangoli; per α tendente a π i triangoli tendono al segmento BC; per α < π/2 si hanno i triangoli isosceli acutangoli; per α tendente a 0, se si tiene fissa la lunghezza dei lati AB e AC i triangoli tendono al segmento AB = BC, se si tiene fissa la lunghezza di BC tendono alla striscia delimitata da BC e dalle semirette ortogonali con estremità in B e C.

Simmetrie

Un triangolo isoscele che non sia equilatero è invariante solo per la riflessione rispetto alla bisettrice dell'angolo diverso dai due rimanenti. Il suo gruppo di simmetria, oltre alla trasformazione identità, comprende solo questa riflessione e quindi è isomorfo al gruppo di due elementi, ovvero al gruppo moltiplicativo sull'insieme {1, −1}.

Triangoli isosceli in geometria analitica

Teorema 1: Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo con la base parallela agli assi sia isoscele è che abbia i due lati di coefficiente angolare opposto.

Dimostrazione.

Date le tre rette

1. $y = k$
2. $y = mx$
3. $y = -mx$

ne calcoliamo l'intersezione.

$\left\{\begin{array}{rl}&y = k\\&y = mx\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{rl}&x = \frac{k}{m}\\&y = m\end{array}\right.$

$A (\frac{k}{m}, m)$

$\left\{\begin{array}{rl}&y = k\\&y = -mx\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{rl}&x = -\frac{k}{m}\\&y = m\end{array}\right.$

$B (-\frac{k}{m}, m)$

$\left\{\begin{array}{rl}&y = mx\\&y = -mx\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{rl}&x = 0\\&y = 0\end{array}\right.$

${\rm C}(0, 0)$

Ora calcoliamo la distanza dei segmenti AC e BC.

$AC = \sqrt{(\frac{k}{m})^{2} + k^{2}}$

$BC = \sqrt {(-\frac{k}{m})^{2} + k^{2}}$

Quindi il triangolo è isoscele sulla base AB. In modo analogo si dimostra il caso della base parallela all'asse y.

Viceversa costruiamo un triangolo isoscele con la base parallela all'asse delle ascisse.

Dati i due punti:

1. ${\rm A} (x_1, k)$

1. ${\rm B} (x_2, k)$

poiché il vertice di un triangolo isoscele giace sulla stessa retta del punto medio della base, prima troviamo $M$ e poi $C$.

$M (\frac{x_1 + x_2}{2}, k)$

Quindi troviamo $C$, che avrà la stessa ascissa di $M$ e diversa ordinata.

$C (\frac{x_1 + x_2}{2}, h)$

Verifichiamo che il triangolo è isoscele:

$AC = \sqrt{(\frac{x_1 - x_2}{2})^{2} + (k - h)^{2}}$

$BC = \sqrt{(\frac{x_2 - x_1}{2})^{2} + (k - h)^{2}}$

Ora calcoliamo il coefficiente angolare dei due lati:

$m AC = (h - k) \cdot (\frac{2}{x_2 - x_1}) = \frac{2(h - k)}{x_2 - x_1}$

$m BC = (h - k) \cdot (\frac{2}{x_1 - x_2}) = \frac{2(h - k)}{x_1 - x_2}$

Teorema 2: Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo con la base parallela alla bisettrice di due quadranti sia isoscele è che abbia i due lati di coefficiente angolare inverso..

Dimostrazione.

Date le tre rette

1. $y = x + q$
2. $y = mx$
3. $y = \frac{1}{m}x$

ne calcoliamo l'intersezione.

$\left\{\begin{array}{rl}&y = x + q\\&y = mx\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{rl}&x (m - 1)= q\\&y = mx\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{rl}&x = \frac{q}{m - 1}\\&y = \frac{mq}{m - 1}\end{array}\right.$

$A (\frac{q}{m - 1}, \frac{mq}{m - 1})$

$\left\{\begin{array}{rl}&y = x + q\\&y = \frac{1}{m}x\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{rl}&x (1 - m)= mq\\&y = \frac{1}{m}x\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{rl}&x = \frac{mq}{1 - m}\\&y = \frac{q}{1 - m}\end{array}\right.$

$B (\frac{mq}{1 - m}, \frac{q}{1 - m})$

$\left\{\begin{array}{rl}&y = \frac{1}{m}x\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{rl}&x = 0\\&y = 0\end{array}\right.$

${\rm C}(0, 0)$

Ora calcoliamo la distanza dei segmenti AC e BC.

$AC = \sqrt{(\frac{q}{m-1})^{2} + (\frac{mq}{m-1})^{2}}$

$BC = \sqrt {(\frac{mq}{1-m})^{2} + (\frac{q}{1-m})^{2}}$

Quindi il triangolo è isoscele sulla base AB. In modo analogo si dimostra il caso della base parallela all'asse y.

Viceversa costruiamo un triangolo isoscele con la base parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante. (Lo stesso vale per quella parallela alla bisettrice del secondo e quarto quadrante).

Dati i due punti:

1. ${\rm A} (0, q)$

1. ${\rm B} (-q, 0)$

poiché il vertice di un triangolo isoscele giace sulla stessa retta del punto medio della base, prima troviamo $M$ e poi $C$.

$M (-\frac{q}{2}, \frac{q}{2})$

Quindi troviamo $C$, che si trova sulla retta perpendicolare alla base e passante per $M$, $y = -x$.

$C (h, -h)$ dove h è un numero arbitrario diverso da 0.

Verifichiamo che il triangolo è isoscele:

$AC = \sqrt{h^{2} + (q + h)^{2}}$

$BC = \sqrt{(-q -h)^{2} + h^{2}}$

Ora calcoliamo il coefficiente angolare dei due lati:

$m AC = \frac{-h - q}{h} = -\frac{h + q}{h}$

$m BC = \frac{-h}{h + q} = -\frac{h}{h + q}$

Voci correlate

• Triangolo
• Triangolo equilatero
• Triangolo scaleno
• Teorema diretto dei triangoli isosceli

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