Teorema diretto dei triangoli isosceli

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In geometria euclidea, il teorema diretto dei triangoli isosceli, noto anche come pons asinorum, afferma che gli angoli opposti i due lati uguali di un triangolo isoscele sono congruenti. Si tratta, in sostanza, il contenuto della proposizione 5 nel libro I degli Elementi di Euclide.

Pons asinorum[modifica | modifica sorgente]

Il teorema viene a volte indicato come pons asinorum (termine latino per "ponte degli asini"). Ci sono due possibili spiegazioni per il nome: la più semplice è che lo schema utilizzato per la dimostrazione assomiglia a un ponte vero e proprio. Ma la spiegazione più popolare è che è il vero primo test negli Elementi della intelligenza del lettore e come un ponte verso le proposizioni più difficile che seguono.[1] Qualunque sia la sua origine, il termine pons asinorum è usato come metafora per un problema o una sfida che separerà i sicuri di mente dai semplici, il pensatore agile dal lento, il determinato dall'esitante, rappresenta un test critico per verificare la capacità o comprensione.[2] Un altro termine medievale per il teorema è stato Elefuga che, secondo Ruggero Bacone, deriva dal greco elegia miseria, e dal latino fuga, cioè "fuga dei miserabili". Anche quest'etimologia è dubbia, e vi fa riferimento Chaucer al termine " fuga dei miserabili" (in inglese "flemyng of wreches") per il teorema.[3]

Uso metaforico[modifica | modifica sorgente]

Gli usi del termine o del teorema come metafora includono:

  • Il Philobiblon di Richard Aungerville contiene il passaggio "Quot Euclidis discipulos retrojecit Elefuga quasi scopulos eminens et abruptus, qui nullo scalarum suffragio scandi posset! Durus, inquiunt, est hie sermo; quis potest eum audire?" nel quale si paragona il teorema ad una ripida scogliera che nessuna scala può aiutare a scalare e chiede si quanti aspiranti geometri ne sono fuggiti.[3]
  • Il termine pons asinorum, in entrambi i suoi significati, come ponte e come test è usato come metafora per trovare il termine medio di un sillogismo.[3]
  • Nel XVIII secolo, il poeta Thomas Campbell scrisse un poema umoristico dal titolo The Pons asinorum dove una classe di geometria assale il teorema come una compagnia di soldati potrebbero caricare una fortezza; la battaglia non priva di incidenti.[4]
  • L'economista John Stuart Mill definì la Teoria della rendita di Ricardo il Pons Asinorum dell'economia.[5]
  • Pons Asinorum è il nome dato ad una particolare configurazione del cubo di Rubik.[6]

Dimostrazioni[modifica | modifica sorgente]

Euclide e Proclo[modifica | modifica sorgente]

Gli Elementi di Euclide Libro 1 proposizione 5; pons asinorum

L'enunciato del teorema di Euclide include una seconda conclusione, che se i lati uguali del triangolo sono prolungati sotto la base, allora gli angoli tra le estensioni e la base sono uguali. La dimostrazione di Euclide consiste nel definire le linee ausiliarie per queste estensioni. Ma, nel commentare Euclide, Proclo mette in evidenza che Euclide non usa mai la seconda conclusione e la sua dimostrazione può essere semplificato in qualche modo tracciando le linee ausiliarie ai lati del triangolo, mentre il resto della dimostrazione si esegue più o meno allo stesso modo. Ci sono state molte speculazioni e dibattiti sul perché Euclide abbia aggiunto la seconda conclusione al teorema teorema, dal momento che rende la dimostrazione più complicata. Una spiegazione plausibile, data da Proclo, è che la seconda conclusione possa essere utilizzata in eventuali obiezioni alle dimostrazioni successive di proposizioni in cui Euclide non copre tutti i casi.[7] La Dimostrazione si basa su quello che è oggi chiamato Lato-Angolo-Lato, ovvero la proposizione precedente negli Elementi.

La dimostrazione di Proclo

La variante di Proclo alla dimostrazione di Euclide procede come segue:[8] sia ABC un triangolo isoscele con AB e AC i lati uguali. Si scelga un punto arbitrario D sul lato AB e si prenda il punto E su CA in modo che AD \cong AE. Tracciate le linee di BE, DC e DE si consideri i triangoli BAE e CAD, questi triangoli hanno BA \cong AC, AE \cong AD, e l'angolo \hat{A} coincidente, quindi per il criterio di congruenza lato-angolo-lato i triangoli BAE e CAD sono congruenti e pertanto i lati e gli angoli corrispondenti saranno congruenti: l'angolo  \widehat{ABE} è uguale all'angolo \widehat{ AC D}, l'angolo \widehat{ A D C} è uguale all'angolo \widehat{ A E B }, e BE \cong CD.

Dal momento che AC \cong AB e AD \cong AE, BD \cong CE per sottrazione di parti uguali. Si consideri ora i triangoli DBE e ECD; per essi BD \cong CE, BE \cong CD, e l'angolo  \widehat{D B E} è uguale all'angolo \widehat{ E C D} come è stato appena mostrato, quindi ancora per il criterio lato-angolo-lato, i triangoli sono congruenti: l'angolo \widehat{ B D E} è uguale all'angolo \widehat{ C E D} . (La congruenza implica anche DE \cong ED, ma questo è evidente).

Poiché l'angolo \widehat{ BD E} è uguale all'angolo \widehat{ CE D} e l'angolo \widehat{ C D E} è uguale all'angolo \widehat{ B E D} , allora l'angolo \widehat{ B D C} sarà uguale all'angolo \widehat{ CE B} per sottrazione di parti uguali.

Consideriamo una terza coppia di triangoli, BDC e CEB; DB \cong CE, DC \cong EB, e l'angolo \widehat{ B D C} uguale all'angolo \widehat{ C E B} , quindi applicando lato-angolo-lato una terza volta, si dimostra che i due triangoli sono congruenti. In particolare, l'angolo \widehat{ C B D} \cong \widehat{B C E} , come volevasi dimostrare.

Pappo[modifica | modifica sorgente]

Proclo presenta una dimostrazione molto più corta attribuita a Pappo di Alessandria. Essa non è solo più semplice, ma non richiede costruzioni aggiuntive. Il metodo di dimostrazione applicato è il criterio lato-angolo-lato tra un triangolo e la sua immagine speculare. Altri autori moderni, descrivono questo metodo di dimostrazionecome prendere il triangolo, capovolgerlo e posarlo su se stesso.[9] Questo metodo è oggetto di satira da parte di Charles Dodgson in Euclide e i suoi rivali moderni, che lo definisce un "Irish bull", ovverosia un non senso, poiché apparentemente richiede che il triangolo si trovi in due posti contemporaneamente.[10]

La dimostrazione è la seguente:[11] Sia ABC un triangolo isoscele con AB e AC i suoi due lati congruenti. Si considerino i triangoli ABE e ACB, dove ACB è un secondo triangolo con vertici \hat{A}, \hat{C} e \hat{B} corrispondenti rispettivamente ai vertici \hat{A}, \hat{B} e \hat{C} nel triangolo originale. Si avrà AB \cong AC, AC \cong AB e l'angolo \hat{A} uguale a se stesso, così per il criterio lato-angolo-lato, i triangoli ABC e ACB sono congruenti. In particolare l'angolo \hat{B} è congruente all'angolo \hat{C}.[12]

Altro[modifica | modifica sorgente]

Dimostrazione dei libri di testo

La dimostrazione standard dei libri di testo consiste nel costruire la bisettrice dell'angolo \hat{A} .[13] Questa è più semplice della dimostrazione di Euclide, ma Euclide non presenta la costruzione della bisettrice di un angolo prima della proposizione 9. Così l'ordine della presentazione delle proposizioni di Euclide deve essere cambiato per evitare un ragionamento circolare.

La dimostrazione procede come segue:[14] come prima consideriamo il triangolo ABC con AB \cong AC. Costruiamo la bisettrice dell'angolo \widehat{BAC}\, e prolungarla fino a incontrare il lato BC nel punto X. Nei triangoli BAX e CAX si ha AB \cong AC, AX coincidente. Inoltre l'angolo  B \hat{A} X \cong C \hat{A} X , così, per il criterio lato-angolo-lato, BAX e CAX sono congruenti. Segue che gli angoli \hat{B} e \hat{C} sono congruenti.

Legendre usa una costruzione simile in Éléments de géométrie, ma considerando il punto X come punto medio del segmento BD.[15] La dimostrazione è simile ma usa il criterio Lato-Lato-Lato al posto di lato-angolo-lato, ma lato-lato-lato non è mostrato che molto più avanti da Euclide negli Elementi.

Prodotto interno[modifica | modifica sorgente]

Il teorema diretto dei triangoli isosceli equivale al prodotto interno su numeri reali o complessi. In questi spazi equivale a prendere dei vettori x, y e z tali che[16]

 x + y + z = 0\text{ and }\|x\| = \|y\|,\,

quindi

 \|x - z\| = \|y - z\|.\,

Mentre

 \|x - z\|^2 = \|x\|^2 - 2x\cdot z + \|z\|^2,\,

e

 x\cdot z = \|x\|\|z\|\cos\theta\,

dove θ è l'angolo tra i due vettori, la conclusione di questa forma del teorema equivale a enunciare l'uguaglianza degli angoli.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ David Eugene Smith, History of Mathematics, New York, Dover publications, 1958, p. 284.
  2. ^ (EN) Merriam-Webster, Definition of Pons asinorum. URL consultato il 9 dicembre 2012 (archiviato il 20 febbraio 2010).
  3. ^ a b c A. F. West, H. D. Thompson, On Dulcarnon, Elefuga And Pons Asinorum as Fanciful Names For Geometrical Propositions in The Princeton University bulletin, vol. 3, nº 4, 1891, p. 84.
  4. ^ (EN) Thomas Campbell, William Edmondstoune Aytoun, The poetical works of Thomas Campbell, Little, Brown, 1864, p. 385.
  5. ^ (EN) Henry Dunning Macleod, On rent in The Elements of Economics, vol. 2, Londra, Longmans, 1886, p. 96. URL consultato il 9 dicembre 2012.
    «Mills goes so far as to call Ricardo's Teory of Rent the pons asinorum of Economics.».
  6. ^ Rubik's Cube patterns
  7. ^ Heath pp. 251-255
  8. ^ Following Proclus p. 53
  9. ^ Francis Cuthbertson, Primer of geometry, 1876, p. 7. URL consultato il 9 dicembre 2012.
  10. ^ Charles Lutwidge Dodgson, Euclide e i suoi rivali moderni Act I Scene II §6
  11. ^ Seguendo Proclus p. 54
  12. ^ Heath p. 254 for section
  13. ^ Per esempio J.M. Wilson Elementary geometry (1878 Oxford) p. 20
  14. ^ Following Wilson
  15. ^ A. M. Legendre Éléments de géométrie (1876 Libr. de Firmin-Didot et Cie) p. 14
  16. ^ J. R. Retherford, Hilbert Space, Cambridge University Press, 1993, page 27.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Geometry Textbook - Standard IX, Maharashtra State Board of Secondary and Higher Secondary Education, Pune - 411 005, India.
  • John Stillwell, The Four Pillars of Geometry, Springer, 2005, page 24.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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