Rombo (geometria)

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Se riscontri problemi nella visualizzazione dei caratteri, clicca qui.
Rombo

In geometria, un rombo (o losanga) è un quadrilatero (più precisamente un parallelogramma) che ha tutti i lati della stessa lunghezza.

Il quadrato è un particolare tipo di rombo: oltre ad avere tutti i lati congruenti, ha anche tutte le diagonali congruenti e gli angoli anche essi congruenti.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Lati[modifica | modifica wikitesto]

I lati opposti di un rombo sono paralleli: esso quindi appartiene alla famiglia dei parallelogrammi.

Diagonali[modifica | modifica wikitesto]

Essendo un quadrilatero, anche il rombo ha due diagonali: esse hanno la caratteristica di essere perpendicolari fra loro e di intersecarsi nel loro punto medio.

Ciascuna diagonale divide il rombo in due triangoli isosceli, che sono congruenti.

Angoli[modifica | modifica wikitesto]

Gli angoli opposti sono congruenti, vale a dire hanno uguale ampiezza: quindi

\hat A=\hat{C}=\alpha
\hat{B}=\hat{D}=\beta

Due angoli consecutivi sono supplementari, con somma quindi pari a 180°:

\alpha + \beta = 180°

Un caso particolare di rombo, avente tutti gli angoli uguali e pari a 90°, è il quadrato.

Altezza del rombo[modifica | modifica wikitesto]

L'altezza h del rombo è pari al diametro della circonferenza inscritta al rombo o al rapporto tra l'area e lato base:

h = 2 r = \frac{A}{a}

Perimetro[modifica | modifica wikitesto]

Se a è il lato del rombo, il suo perimetro 2p è dato da:

2p = 4 \cdot a.

Area[modifica | modifica wikitesto]

Rhombus1.svg

L'area del rombo si può calcolare in quattro modi:

  1. come per tutti i parallelogrammi, effettuando il prodotto della base a, coincidente con il lato del rombo, per l'altezza h:
     A = a \cdot h,
  2. moltiplicando la diagonale maggiore d_1 per la diagonale minore d_2 e dividendo il risultato per 2[1]:
     A = {{d_1 \cdot d_2} \over {2}} = \frac{\overline{AC} \cdot \overline{BD}}{2},
  3. moltiplicando il semiperimetro p per il raggio r della circonferenza inscritta[2]:
     A = p \cdot r,
  4. infine, calcolando il quadrato del lato a e moltiplicandolo per il seno di uno qualunque degli angoli interni[3]
     A = {a^2 \cdot \sin\alpha} = {a^2 \cdot \sin\beta}.
    In merito a questa quarta formula per il calcolo dell'area vanno notati alcuni punti:
    • \sin\alpha e \sin\beta sono uguali perché \alpha e \beta sono angoli supplementari: questo è il motivo per cui si può usare indifferentemente l'uno o l'altro
    • il rombo produce la sua massima area quando i lati sono perpendicolari fra loro a formare un quadrato: in tal caso \sin\alpha e \sin\beta sono uguali a 1 e la formula si identifica con quella del quadrato ossia diventa
     A = {a^2}
    • man mano che il rombo si schiaccia, \sin\alpha e \sin\beta diventano minori di 1 e quindi l'area del rombo diventa più piccola rispetto a quella del quadrato da cui si era partiti
    • infine, schiacciando totalmente il rombo fino ad avere \alpha = 0 e quindi \sin\alpha = 0, la sua area diventa nulla

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ La formula si giustifica considerando che l'area può essere ottenuta sommando le aree di due triangoli congruenti come ad esempio quello con vertici A, D e C e quello con vertici A, C e B. Considerando quest'ultimo si ha:
    \frac{\overline{AC} \cdot \overline{SB}}{2} = \frac{\overline{AC} \cdot \overline{BD}/2}{2} = \frac{\overline{AC} \cdot \overline{BD}}{4}
    Moltiplicando per 2 otteniamo la formula del punto 2.
  2. ^ La formula si giustifica considerando che il raggio r è anche pari all'altezza rispetto ad a di uno qualunque dei quattro triangoli che compongono il rombo. Considerando ad esempio il triangolo che ha per vertici A, S e B osserviamo che la sua area è data da:
    \frac{a \cdot r}{2}
    Moltiplicando per 4 otteniamo la formula del punto 3:
    4 \cdot \frac{a \cdot r}{2} = 2 \cdot a \cdot r = p \cdot r.
  3. ^ La formula si giustifica considerando che il prodotto a \cdot \sin\alpha coincide con l'altezza h e quindi ricadiamo nella formula del punto 1:
    {a^2 \cdot \sin\alpha} = a \cdot (a \cdot \sin\alpha) = a \cdot h

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica