Parallelismo (geometria)

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Nella geometria euclidea due o più enti sono mutuamente paralleli se tutti i punti dell'uno hanno la stessa distanza minima dall'altro, o dal prolungamento di questo. Inoltre ogni ente geometrico si considera parallelo a sé stesso. La relazione così definita si dice parallelismo ed è una relazione di equivalenza.

La relazione di parallelismo si nota generalmente con una doppia barra verticale o obliqua. Le espressioni a\parallel b e a // b si leggono "a è parallelo a b".

Parallelismo nel piano[modifica | modifica sorgente]

Due o più rette distinte nello stesso piano euclideo sono parallele se e solo se non hanno alcun punto in comune, cioè se non si incontrano mai. Due o più segmenti sono paralleli se lo sono le rette che li contengono.

Nel piano cartesiano due rette (distinte o no) di equazioni implicite ax+by+c= 0 e a'x+b'y+c'=0 sono parallele se e solo se ab'=a'b.

Quindi sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare (m=m' relativamente alle loro equazioni esplicite y=mx+q e y=m'x+q') o sono verticali (e quindi hanno equazioni x=a e x=b).

Il teorema delle rette parallele[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teorema delle rette parallele.

Date due rette tagliate da una trasversale, se gli angoli alterni interni sono congruenti, le due rette sono parallele.

Parallelismo nello spazio[modifica | modifica sorgente]

In uno spazio euclideo tridimensionale due o più piani distinti sono paralleli se e solo se non hanno alcun punto in comune. Altrettanto vale per una retta ed un piano, che non la contiene, paralleli. È anche vero che due rette distinte parallele non hanno alcun punto in comune, ma è possibile per due rette distinte nello spazio non incontrarsi mai pur senza essere parallele. Si parla in questo caso di rette sghembe.

Parallelismo nelle geometrie non euclidee[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Parallelismo in geometria iperbolica.

Il postulato delle parallele, meglio noto come quinto postulato di Euclide sostiene che per un punto P si può condurre una ed una sola retta parallela ad una data retta r non passante per P. È oggi dimostrato che tale assioma è indipendente dagli altri postulati di Euclide e la sua negazione conduce alle geometrie non euclidee, dove le proprietà del parallelismo classico non sono applicabili.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Parallelismo tra due rette[modifica | modifica sorgente]

Due rette parallele proiettate su un piano restano parallele, ma anche due rette sghembe possono avere proiezioni parallele su un piano. Nello spazio a tre dimensioni due rette sono parallele se e solo se questo è vero per due piani non paralleli.

Parallelismo tra retta e piano[modifica | modifica sorgente]

Un piano è parallelo a una retta se e solo se contiene una retta ad essa parallela. (Se e solo se il loro scalare è uguale a 0).

Parallelismo nella proiezione prospettica[modifica | modifica sorgente]

Due rette, o due piani, sono paralleli se e solo se hanno la stessa fuga; una retta è parallela a un piano se e solo se la sua fuga è contenuta in quella del piano.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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