Diagonale

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Il segmento B'D' è una diagonale del poligono A'B'C'D' e del cubo. Il segmento A'C è una diagonale del solo cubo

In geometria, si chiama diagonale il segmento che congiunge due vertici non consecutivi di un poligono o di un poliedro. Le diagonali possono essere interne o esterne al perimetro del poligono o al volume del poliedro, in particolare sono tutte interne se la figura è convessa.

Per sapere quante diagonali partono da un vertice di un poligono di  n>2 vertici si contano tutti i vertici tranne il vertice considerato e i due consecutivi ad esso, in quanto i segmenti ottenuti costituirebbero due lati (e quindi non sarebbero "diagonali" secondo la definizione sopra riportata), quindi si hanno n-3 diagonali.

Il numero totale delle diagonali di un poligono di  n>2 vertici è dato dalla formula

 d = \frac{n(n - 3)}{2}


Dimostrazioni[modifica | modifica wikitesto]

Dimostrazione 1[modifica | modifica wikitesto]

Diagonali di un poligono.png

Si dimentichi per un attimo il poligono e lo si sostituisca con l’insieme degli n punti corrispettivi dei vertici. Si tracci da ciascun punto le diagonali verso ognuno dei restanti n-1 (per semplicità ora non si farà distinzioni fra lati e diagonali); si ha quindi che da ogni vertice del poligono partono in totale n-1 diagonali, se però le si vogliono contare correttamente occorre fare il seguente ragionamento:

da A_1 partono n-1 diagonali;
da A_2 partono n-2 diagonali (si toglie quella proveniente da A_1);
da A_3 partono n-3 diagonali (si tolgono quelle provenienti da A_1 e A_2);
...
da A_n partono  n-n=0 diagonali (ogni punto è già congiunto da una propria diagonale).

Il numero totale delle diagonali è quindi la sommatoria di una progressione aritmetica

0+1+2+...+(n-1)= \frac{n(n - 1)}{2},

da cui però bisogna togliere gli n lati, che inizialmente sono stati considerati per semplicità delle diagonali, quindi

 \frac{n(n - 1)}{2} - n = \frac{n(n - 3)}{2}.

Come si può verificare dalla formula, il triangolo con i suoi 3 lati è l'unico poligono a non avere diagonali.

Dimostrazione 2[modifica | modifica wikitesto]

Iniziamo dicendo che per formare una diagonale occorrono due vertici. Inoltre il segmento \overline{A_1 A_4} e il segmento \overline{A_4 A_1} rappresentano la stessa diagonale, quindi l'ordine con cui si prendono i vertici non è importante. Si tratta allora di contare quante configurazioni ordinate posso formare con n oggetti presi 2 alla volta. Per contare queste configurazioni ci viene in aiuto il calcolo combinatorio, infatti le configurazioni possibili sono le combinazioni semplici di n oggetti di classe 2

C_{n,2}={n \choose 2}=\frac{n!}{2!(n-2)!}=\frac{n(n-1)}{2}.

A queste configurazioni vanno poi tolte quelle ottenute prendendo due vertici consecutivi, quindi il numero n dei vertici del poligono

d=\frac{n(n-1)}{2}-n=\frac{n(n-1)-2n}{2},

da cui d=\frac{n(n-3)}{2}.


Analisi empirica[modifica | modifica wikitesto]

L'andamento del numero di diagonali in funzione del numero di lati del poligono corrisponde alla conica di formula x^2-3x-2y=0, dove x è il numero dei lati e y è il numero delle diagonali

Provando a tracciare le diagonali di diversi poligoni si ottiene la seguente tabella:

Lati Diagonali
3 0
4 2
5 5
6 9
7 14
8 20
9 27
10 35
Lati Diagonali
11 44
12 54
13 65
14 77
15 90
16 104
17 119
18 135
Lati Diagonali
19 152
20 170
21 189
22 209
23 230
24 252
25 275
26 299
Lati Diagonali
27 324
28 350
29 377
30 406
31 434
32 464
33 495
34 527
Lati Diagonali
35 560
36 594
37 629
38 665
39 702
40 740
41 779
42 819

Si osserva che mentre i lati si susseguono linearmente, il numero delle rispettive diagonali aumenta in modo parabolico (per convincersene basta immettere i dati in un piano cartesiano), quindi la formula risolutiva deve essere un'equazione di secondo grado. Per trovarla si impieghi un sistema di 3 equazioni

\begin{cases} an^2_1 + bn_1 + c = d_1 \\ an^2_2 + bn_2 + c = d_2 \\ an^2_3 + bn_3 + c = d_3 \end{cases}

dove n_i è il numero dei lati e d_i è il numero delle diagonali corrispondenti. Poiché sia n_i che d_i sono noti (almeno per un numero finito di casi), le incognite sono a, b, c. Sostituendo, ad esempio, n_1=3,n_2=4,n_3=5 e i corrispondenti valori di d_i si ha

\begin{cases} 9a + 3b + c = 0 \\ 16a + 4b + c = 2 \\ 25a + 5b + c = 5 \end{cases}

e risolvendo il sistema si ottiene a = \frac{1}{2} , b = - \frac{3}{2} , c = 0.

Quindi la formula risolutiva è  d = \frac{n(n - 3)}{2} che sul piano cartesiano assume la forma della conica x^2 - 3x - 2y = 0 con x = n e y = d.


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