Diagonale

Il segmento B'D' è una diagonale del poligono A'B'C'D' e del cubo. Il segmento A'C è una diagonale del solo cubo

In geometria si chiama diagonale il segmento che congiunge due vertici non consecutivi di un poligono o un poliedro. Le diagonali possono essere interne o esterne al perimetro del poligono o al volume del poliedro, dipendentemente dal fatto che la figura geometrica sia convessa o concava.

per sapere quante diagonali partono da ogni vertice si svolge la formua: (n-3)

Il numero delle diagonali di un poligono di n vertici è dato dalla formula:

$d = \frac{n(n - 3)}{2}$

Dimostrazioni

Dimostrazione 1

Si dimentichi per un attimo il poligono e lo si sostituisca con l’insieme degli n punti corrispettivi dei vertici. Si tracci da ciascun punto le diagonali verso ognuno dei restanti n-1 (per semplicità ora non si farà distinzioni fra lati e diagonali); si ha quindi che da ogni vertice del poligono partono in totale n-1 diagonali, se però le si vogliono contare correttamente occorre fare il seguente ragionamento, da:

A₁ partono n – 1 diagonali

A₂ partono n – 2 diagonali (si toglie quella proveniente da A1)

A₃ partono n – 3 diagonali (si tolgono quelle provenienti da A1 e A2)

.......

A_n partono n – n = 0 (ogni punto è già congiunto da una propria diagonale)

Il numero totale delle diagonali è quindi la sommatoria di una progressione aritmetica

$0+1+2+...+(n-1)= \frac{n(n - 1)}{2}$

Da cui però bisogna togliere gli n lati, che inizialmente sono stati considerati per semplicità delle diagonali, quindi

$\frac{n(n - 1)}{2} - n = \frac{n(n - 3)}{2}$

Come si può verificare dalla formula, il triangolo con i suoi 3 lati è l'unico poligono a non avere diagonali.

Dimostrazione 2

L'andamento del numero di diagonali in funzione del numero di lati del poligono corrisponde alla conica di formula $x^2-3x-2y=0$, dove $x$ è il numero dei lati e $y$ è il numero delle diagonali

Provando a tracciare le diagonali di diversi poligoni si ottiene la seguente tabella:

Lati Diagonali 3 0 4 2 5 5 6 9 7 14 8 20 9 27 10 35

Lati Diagonali 11 44 12 54 13 65 14 77 15 90 16 104 17 119 18 135

Lati Diagonali 19 152 20 170 21 189 22 209 23 230 24 252 25 275 26 299

Lati Diagonali 27 324 28 350 29 377 30 406 31 434 32 464 33 495 34 527

Lati Diagonali 35 560 36 594 37 629 38 665 39 702 40 740 41 779 42 819

Si osserva che mentre i lati si susseguono linearmente, il numero delle rispettive diagonali aumenta in modo parabolico (per convincersene basta immettere i dati in un piano cartesiano), quindi la formula risolutiva deve essere un'equazione di secondo grado! Per trovarla si impieghi un sistema di 3 equazioni:

$\begin{cases} an^2_1 + bn_1 + c = d_1 \\ an^2_2 + bn_2 + c = d_2 \\ an^2_3 + bn_3 + c = d_3 \end{cases}$

dove $n_i$ è il numero dei lati e $d_i$ è il numero delle corrispettive diagonali. Poiché sia $n_i$ che $d_i$ sono noti, le uniche incognite sono $a, b, c$. Inserendo i numeri:

$\begin{cases} 9a + 3b + c = 0 \\ 16a + 4b + c = 2 \\ 25a + 5b + c = 5 \end{cases}$

Risolvendo il sistema si ottiene: $a = \frac{1}{2} , b = - \frac{3}{2} , c = 0$ e quindi la formula risolutiva è $d = \frac{n(n - 3)}{2}$ che sul piano cartesiano assume la forma della conica $x^2 - 3x - 2y = 0$ con $x \equiv n$ e $y \equiv d$

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