Diagonale

Il segmento B'D' è una diagonale del poligono A'B'C'D' e del cubo. Il segmento A'C è una diagonale del solo cubo

In geometria si chiama diagonale il segmento che congiunge due vertici non consecutivi di un poligono o un poliedro. Le diagonali possono essere interne o esterne al perimetro del poligono o al volume del poliedro, dipendentemente dal fatto che la figura geometrica sia convessa o concava.

Il numero delle diagonali di un poligono di n vertici è dato dalla formula:

$d = \frac{n(n - 3)}{2}$

Dimostrazioni

Dimostrazione 1

Si dimentichi per un attimo il poligono e lo si sostituisca con l’insieme degli n punti corrispettivi dei vertici. Si tracci da ciascun punto le diagonali verso ognuno dei restanti n-1 (per semplicità ora non si farà distinzioni fra lati e diagonali); si ha quindi che da ogni vertice del poligono partono in totale n-1 diagonali, se però le si vogliono contare correttamente occorre fare il seguente ragionamento, da:

A₁ partono n – 1 diagonali

A₂ partono n – 2 diagonali (si toglie quella proveniente da A1)

A₃ partono n – 3 diagonali (si tolgono quelle provenienti da A1 e A2)

.......

A_n partono n – n = 0 (ogni punto è già congiunto da una propria diagonale)

Il numero totale delle diagonali è quindi la sommatoria di una progressione aritmetica

$0+1+2+...+(n-1)= \frac{n(n - 1)}{2}$

Da cui però bisogna togliere gli n lati, che inizialmente sono stati considerati per semplicità delle diagonali, quindi

$\frac{n(n - 1)}{2} - n = \frac{n(n - 3)}{2}$

Come si può verificare dalla formula, il triangolo con i suoi 3 lati è l'unico poligono a non avere diagonali.

Dimostrazione 2

L'andamento del numero di diagonali in funzione del numero di lati del poligono corrisponde alla conica di formula $x^2-3x-2y=0$, dove $x$ è il numero dei lati e $y$ è il numero delle diagonali

Provando a tracciare le diagonali di diversi poligoni si ottiene la seguente tabella:

Lati	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	...
Diagonali	0	2	5	9	14	20	27	35	44	54	65	77	...

Si osserva che mentre i lati si susseguono linearmente, il numero delle rispettive diagonali aumenta in modo parabolico (per convincersene basta immettere i dati in un piano cartesiano), quindi la formula risolutiva deve essere un'equazione di secondo grado! Per trovarla si impieghi un sistema di 3 equazioni:

$\begin{cases} an^2_1 + bn_1 + c = d_1 \\ an^2_2 + bn_2 + c = d_2 \\ an^2_3 + bn_3 + c = d_3 \end{cases}$

dove $n_i$ è il numero dei lati e $d_i$ è il numero delle corrispettive diagonali. Poiché sia $n_i$ che $d_i$ sono noti, le uniche incognite sono $a, b, c$. Inserendo i numeri:

$\begin{cases} 9a + 3b + c = 0 \\ 16a + 4b + c = 2 \\ 25a + 5b + c = 5 \end{cases}$

Risolvendo il sistema si ottiene: $a = \frac{1}{2} , b = - \frac{3}{2} , c = 0$ e quindi la formula risolutiva è $d = \frac{n(n - 3)}{2}$ che sul piano cartesiano assume la forma della conica $x^2 - 3x - 2y = 0$ con $x \equiv n$ e $y \equiv d$

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